Serie numeriche: criterio della radice
Buonasera ragazzi.
Un paio di giorni fa il Prof ha enunciato il seguente
Teorema (Criterio della radice $n$-esima). Sia $\sum_{n=0}^\infty a_n$ $[1]$ una serie a termini non negativi. Allora valgono le seguenti implicazioni:
1) $(\exists k\in [0,1[$ tale che definitivamente $a_n^{1/n}\le k$)$\implies$ ($[1]$ converge);
2) (definitivamente $a_n^{1/n}\ge 1$)$\implies$ ($[1]$ diverge).
Sulla (1) nessuna obiezione. Mi pare che la (2) invece si possa indebolire richiedendo che frequentemente (i.e. per infiniti indici) sia $a_n^{1/n}\ge 1$ (oppure, che è lo stesso, $a_n\ge 1$) o addirittura chiedendo che $\exists h>0$ tale che frequentemente $a_n\ge h$. Questo infatti sarebbe sufficiente a garantire che $a_n$ non è infinitesima, e da questo seguirebbe la tesi.
Il dubbio mi sorge vedendo che anche il mio libro riporta lo stesso enunciato.
Mi sfugge qualcosa?
Un paio di giorni fa il Prof ha enunciato il seguente
Teorema (Criterio della radice $n$-esima). Sia $\sum_{n=0}^\infty a_n$ $[1]$ una serie a termini non negativi. Allora valgono le seguenti implicazioni:
1) $(\exists k\in [0,1[$ tale che definitivamente $a_n^{1/n}\le k$)$\implies$ ($[1]$ converge);
2) (definitivamente $a_n^{1/n}\ge 1$)$\implies$ ($[1]$ diverge).
Sulla (1) nessuna obiezione. Mi pare che la (2) invece si possa indebolire richiedendo che frequentemente (i.e. per infiniti indici) sia $a_n^{1/n}\ge 1$ (oppure, che è lo stesso, $a_n\ge 1$) o addirittura chiedendo che $\exists h>0$ tale che frequentemente $a_n\ge h$. Questo infatti sarebbe sufficiente a garantire che $a_n$ non è infinitesima, e da questo seguirebbe la tesi.
Il dubbio mi sorge vedendo che anche il mio libro riporta lo stesso enunciato.
Mi sfugge qualcosa?
Risposte
Non ti sfugge niente, è corretto ciò che dici.
Ancora una volta grazie, Rigel 
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