Serie numeriche

[lucamennoia]

Sono ai primi esercizi sulle serie numeriche:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{(n+1)!}} \)
ho questa serie e vorrei capirne il carattere e se convergenti calcolare le somme.

Per ora son bloccato allo studio del carattere della serie. Studiando il termine generale ho: \(\displaystyle \frac{n}{(n+1)!}=\frac{n}{(n+1)n(n-1)!}=\frac{1}{(n+1)(n-1)!} \)
forse posso usare il criterio del confronto asintotico ma non riesco a ricondurre la serie ad alcuna delle serie a me note oppure non riesco a maggiorarla con una serie convergente o minorarla con una serie divergente.

[gugo82]

Criterio del rapporto, no?

Ma ad ogni modo basterebbe notare che:
\[
\frac{n}{(n+1)!} \leq \frac{1}{(n-1)!}
\]
per \(n\geq 2\) per concludere.

[theras]

Ciao ad entrambi!
@Luca
Ma,dato che $n/((n+1)!)=((n+1)-1)/((n+1)n!)=(n+1)/((n+1)n!)-1/((n+1)!)=1/(n!)-1/((n+1)!)$ $AAn in NN$,
la serie in questione non è telescopica?
Te lo chiedo solo perchè a quel punto calcolarne addirittura la somma è,a norma di def,quasi immediato..
Saluti dal web.