Serie numeriche.
Salve qualcuno sa come svolgere le seguenti serie:
$(n!log(n+1))/(n3^n))$
$(1-cos(1/n^(1/2)))^3$
Il primo ho provato a svolgere con il rapporto ma il limite mi esce +oo quindi non applicabile,ho pensato al confronto ma non so con cosa confrontarla.Per la seconda ho usato il criterio degli infinitesimi moltiplicando tutto per n^4 cosi sostituendo $1/n^(1/2)$ con t mi esce il limite notevole $(1-cost)/t^2$ e quindi uguale ad un mezzo,maggiore di zero e con l'esponente dell'infinitesimo >1 quindi converge.
$(n!log(n+1))/(n3^n))$
$(1-cos(1/n^(1/2)))^3$
Il primo ho provato a svolgere con il rapporto ma il limite mi esce +oo quindi non applicabile,ho pensato al confronto ma non so con cosa confrontarla.Per la seconda ho usato il criterio degli infinitesimi moltiplicando tutto per n^4 cosi sostituendo $1/n^(1/2)$ con t mi esce il limite notevole $(1-cost)/t^2$ e quindi uguale ad un mezzo,maggiore di zero e con l'esponente dell'infinitesimo >1 quindi converge.
Risposte
Per la prima, hai controllato se è verificata la condizione necessaria alla convergenza?
Per la seconda, c'è convergenza, ma non capisco bene il tuo ragionamento.
Non è più semplice approssimare così [tex]$(1-\cos \tfrac{1}{\sqrt{n}})^3 \approx (\tfrac{1}{2n})^3=\tfrac{1}{8n^3}$[/tex] (dal limite notevole del coseno)?
Per la seconda, c'è convergenza, ma non capisco bene il tuo ragionamento.
Non è più semplice approssimare così [tex]$(1-\cos \tfrac{1}{\sqrt{n}})^3 \approx (\tfrac{1}{2n})^3=\tfrac{1}{8n^3}$[/tex] (dal limite notevole del coseno)?
Come mi hai suggerito dovrei approssimare la funzione e poi cosa fare? trovato una volta $1/(8n^3)$ la vado a confrontare con con $1/n^3$ per esempio e quindi posso dire che converge perchè ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata?
Esatto.
Questo si chiama anche criterio del confronto asintotico.
Questo si chiama anche criterio del confronto asintotico.
Ok grazie mille per l'input,ultima cosa l'approssimazione si stabilsce sviluppando con taylor?
Ovviamente si può usare lo sviluppo in serie di Taylor del coseno; però quell'approssimazione viene fuori più immediatamente dal limite notevole:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$[/tex],
dato che esso si può leggere anche in questa maniera:
[tex]$1-\cos x\approx \frac{x^2}{2}\quad \text{per $x\to 0$}$[/tex].
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$[/tex],
dato che esso si può leggere anche in questa maniera:
[tex]$1-\cos x\approx \frac{x^2}{2}\quad \text{per $x\to 0$}$[/tex].
Ok grazie mille per l'aiuto.Credo di avere capito.Prendendo sempre questa funzione $(1-cosx)$ sviluppo con taylor e viene $1-(1-x^2/2)$ e risulta $x^2/2$.Ora non ho capito se mi devo fermare al primo ordine,se devo comprendere gli o piccoli...non ho ben compreso questo.
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