Serie numeriche

[cntrone]

ragazzi un semplice esercizio che mi lascia un pò spiazzato..

devo studiare la convergenza di:

$sum_{n=1}^infty (1/n-sen1/n)$

il libro dice che converge ma a me risulta divergente in quanto è una successione infinitesima del primo ordine..in cosa sbaglio?

[salvozungri]

Io procederei come segue, passo dalla variabile discreta a quella continua attraverso il teorema ponte.
Andrei a considerare la funzione $f:RR->RR$ definita come $f(x)= x-sin(x)$ a questo punto con taylor otterrei:
$f(x)= x- (x-x^3/6+ o(x^4)) = x^3/6 + o(x^4)$. Ci accorgiamo quindi che la successione
$a_n:=(1/n-sin(1/n))$ si comporta asintoticamente come $(1/n)^3$, per fare un controllo, hai la possibilità di fare:

$lim_{n\to\infty} (1/n-sin(1/n))/(1/n^3)$ (dimostrando in maniera canonica che le due successioni sono asintoticamente equivalenti)

[cntrone]

"Mathematico":Io procederei come segue, passo dalla variabile discreta a quella continua attraverso il teorema ponte.
Andrei a considerare la funzione $f:RR->RR$ definita come $f(x)= x-sin(x)$ a questo punto con taylor otterrei:
$f(x)= x- (x-x^3/6+ o(x^4)) = x^3/6 + o(x^4)$. Ci accorgiamo quindi che la successione
$a_n:=(1/n-sin(1/n))$ si comporta asintoticamente come $(1/n)^3$, per fare un controllo, hai la possibilità di fare:

$lim_{n\to\infty} (1/n-sin(1/n))/(1/n^3)$ (dimostrando in maniera canonica che le due successioni sono asintoticamente equivalenti)

ok perfetto..adesso torna..