Serie numeriche

[modi1]

Ciao a tutti, sono alle prese con questi due problemi spero che qualcuno riesca a darmi una mano perchè non so più dove sbattere la testa.
1)Abbiamo una serie convergente con termini $a_n$ strettamenti positivi, trovare un altra serie a termini $b_n$ positivi con convergenza più lenta cioè $\frac{b_n}{a_n}=\infty$.

Io ho pensato ad una serie con molti zeri cioè, ad esempio, del tipo:
$b_{n^2}=a_n$
$b_j=0$ con $j\ne n^2\quad\forall n\inZZ$
La serie con questi termini è sicuramente convergente rispetta cauchy, ma non riesco a dimostrare che $\frac{b_n}{a_n}=\infty$. Infatti ora il mio problema è cercare di dimostrare che la $b_i$ è una sottosuccessione che converge più lentamente della successione di partenza.
Ma questo è vero?

2)Sia $\sum^{\infty} a_n$ convergente e a termini positivi allora $\sum \sqrt{a_n}/n$ converge.
Ho pensato che essendo convergente $a_n$ è definitivmente minore di $1/n$ da cui $\frac{\sqrta_n}{n}<\frac{1}{n^{3/2}}$ che converge, quindi per il teorema del confronto ho la tesi.
Però non mi convence più di tanto.

Spero che qualcuno riesca a darmi una mano, intanto continuo a pensarci su.

[dissonance]

Per la 2): hint-ricordati la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Se non ce la fai guarda qui: https://www.matematicamente.it/forum/un- ... 38731.html