Serie numeriche

[dany80-votailprof]

ciao a tutti, premetto che io e le serie numeriche non andiamo troppo d'accordo, antipati reciproca, però ho qyeste due serie che facevano parte del compito di analisi 1 e quindi canditate a diventare materia dell'orale.... e sono:

$sum_1^infty (arcsinx)^n/(2^n n sqrt(n^2+1))$ e $sum_1^infty ((sinx)^n+2)/(n sqrt(n^2+1)) $

da studiare in funzione del parametro x.
Allora io ho fatto questo ragionamento, una volta fissato il valore di x sia sinx che arcsinx diventano delle costanti quindi non partecipano più di tanto al carattere della serie, però sappiamo pure che assumono valori sia positivi che negativi, da qui quindi dobbiamo distinguere tre casi, $=0$ positivo(in $]0,(pi)/2]$) e negativo (in $[-(pi)/2,0[$) per arcsinx. naturalmente diventa banale per x=0 la serie diventa la somma di n termini nulli che converge a 0, restano gli alri due casi per valori positivi la serie va studiata con i normali criteri di convergenza, io ho scelto la radice n-esima, per cui mi risulta $\to0$ quindi convergente. ragionamento diverso dobbiamo fare per valori negativi questa infatti diventa una serie a termine alterno da studiare secondo liebniz da cui possiamo dire che:
$lim_\toinfty an=0$
dobbiamo perciò solo provare la stretta decrescenza che al livello intuitivo c'è, ogni termine è costituito da una frazione con denominatore crescente quini ogni termine sarà $an>an+1>an+2$ per cui converge anche in questo caso.

per quanto riguarda la seconda valgono le stesse premesse ma non le stesse conclusioni infatti il numeratore sarà $(sinx)^n+2$ da qui il numeratore sarà strettamente positivo per qualsiasi valore di senx (anche 0), se non ho sbagliato i conti usando il criterio dela radice n-esima questo limite dovrebbe convergere a zero da cui la serie converge assolutamente(non vorrei sbagliarmi) per ogni x.

questo e quanto sono riuscito a fare, che ne pensate?

[gugo82]

Non sono molto d'accordo su come hai applicato il criterio della radice... Mi pare strano che quei limiti vengano zero.

[dany80-votailprof]

credo che hai ragione preso dall'impeto penso di aver sbagliato per il primo credo diverga perchè al denominatore dovrebbe restare $ 2 sqrt(n sqrt(n^2+1))$(radice n-esima), questa dovrebbe essere una forma indeterminata, si vede che sono un pò incerto....spero almeno che le premesse siano corrette

[dany80-votailprof]

"Gugo82":Non sono molto d'accordo su come hai applicato il criterio della radice... Mi pare strano che quei limiti vengano zero.

tu quale criterio avresti applicato, avevo pensato quello per togliere parte degli esponenti.

[gugo82]

Va bene applicare il criterio della radice (anche se potevi cavartela pure con quello del rapporto).

Il problema sono i calcoli: infatti visto che:

$lim_n \root(n)(n)=1$

$lim_n \root(n)((n^2+1)^(1/2))=lim_n \root(n)(n)*(1+1/n^2)^(1/(2n))=lim_n \root(n)(n)*[(1+1/n^2)^(n^2)]^(1/(2n^3))=1*e^0=1$

trovi $lim_n \root(n)(n*(n^2+1))=1*1=1$ ed infine:

$lim_n \root(n)(|arcsinx|^n/(2^n*n*\sqrt(n^2+1)))=|arcsin x|/2*1=|arcsin x|/2$.

Visto che $|arcsin x|/2<1$ se e solo se $-2 Evidentemente ogni $x\in RR$ soddisfa le disequazioni di cui sopra, quindi c'è convergenza assoluta ovunque in $RR$.

[dany80-votailprof]

"Gugo82":Va bene applicare il criterio della radice (anche se potevi cavartela pure con quello del rapporto).

Il problema sono i calcoli: infatti visto che:

$lim_n \root(n)(n)=1$

$lim_n \root(n)((n^2+1)^(1/2))=lim_n \root(n)(n)*(1+1/n^2)^(1/(2n))=lim_n \root(n)(n)*[(1+1/n^2)^(n^2)]^(1/(2n^3))=1*e^0=1$

trovi $lim_n \root(n)(n*(n^2+1))=1*1=1$ ed infine:

$lim_n \root(n)(|arcsinx|^n/(2^n*n*\sqrt(n^2+1)))=|arcsin x|/2*1=|arcsin x|/2$.

Visto che $|arcsin x|/2<1$ se e solo se $-2 Evidentemente ogni $x\in RR$ soddisfa le disequazioni di cui sopra, quindi c'è convergenza assoluta ovunque in $RR$.

grazie per i chiarimenti, solo 2 cosette:

1. $lim_(n\toinfty)root(n)(sqrt(n^2+1))=lim_(n\toinfty)root(n)(sqrt(n^2))=1$
per n che tende a infinito possiamo anche dire che $n^2+1$ è asintotico a $n^2$?

2 ma per valori di $arcsenx<0$ la serie diventa a termini alterni, non dovrebbe essere studiata con liebniz? il cirterio del rapporto, radice n-essima e confronto asintotico non valgono solo per le serie a termini positivi( o negativi)?

[dany80-votailprof]

"dany80": $sum_1^infty ((sinx)^n+2)/(n sqrt(n^2+1)) $

per quanto riguarda questa invece il denominatore come la precedente, con il criterio della radice tende a 1, al numeratore resterebbe $\root(n)((senx)^n+2)$ considerando che senx è una funzione limitata tra $-1

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[gugo82]

1) Sì.

2) Se hai convergenza assoluta, perchè usare Leibniz (che è un criterio di convergenza più debole)?

Inoltre, se $1<=(sinx)^n+2<=3$ allora $1^(1/n)<=\root(n)((sinx)^n+2)<=3^(1/n)$ ed applichi il Teorema dei carabinieri.

[dany80-votailprof]

sei grande, quindi non ho bisogno di andare a cercare una seconda convergenza anche se la serie diventa a segno alterno perchè in quel modo posso dire che converege assolutamente, in effetti avevo visto che usando liebniz converge, cosa che potevo già dire in virtù della convergenza assoluta che implica ogni altra convergenza... geniale
Con il teorema dei carabinieri si vede che sbagliavo, quel numeratore tende a 1 e non a zero come pensavo...per cui non concludo nulla sulla convergenza con la radice n-esima...