Serie numeriche (2)
Salve ragazzi vi posto 2 esercizi sulle serie numeriche sui quali non sono molto sicuro :
1 ) $sum_(n=1)^(infty) (-1)^n*(n^2)/(n^2+1)$
per questa serie io ho pensato che data la condizione necessaria di convergenza il termine generale $a_n=(n^2)/((n^2+1)$ non tende a $0$ e quindi la serie diverge.
2 ) $sum_(n=1)^(infty) 1/(2n+4ln(n))$
qui ho pensato di confrontarla asintoticamente con $b_n=1/n$ (che diverge) e quindi $lim_(n->infty) n/(2n+4ln(n))=1/2$ (l'ho risolto applicando De l'Hopital)
Che ne dite ? dove sbaglio ?
1 ) $sum_(n=1)^(infty) (-1)^n*(n^2)/(n^2+1)$
per questa serie io ho pensato che data la condizione necessaria di convergenza il termine generale $a_n=(n^2)/((n^2+1)$ non tende a $0$ e quindi la serie diverge.
2 ) $sum_(n=1)^(infty) 1/(2n+4ln(n))$
qui ho pensato di confrontarla asintoticamente con $b_n=1/n$ (che diverge) e quindi $lim_(n->infty) n/(2n+4ln(n))=1/2$ (l'ho risolto applicando De l'Hopital)
Che ne dite ? dove sbaglio ?
Risposte
Quanto alla prima.....il limite del termine generale l'hai calcolato direttamente su quel valore?
Dato che è hai [tex](-1)^n[/tex] quel limite può valere 1 ma anche -1.
Non so...ma non mi convince il fatto che la condizione necessaria non sia verificata.
Sembre facile studiarne la monotonia, oppure studiarne l'assoluta convergenza......
P.S....in realtà prima di fare queste cose, che io ho provato e non so perchè mi hanno fatto sbagliare....potresti pensare di studiare l'assoluta convergenza e di fare un confronto se guardi bene:
[tex]\frac{n^2}{n^2+1}[/tex] dovresti potrerlo confrontare con una costante...
Dato che è hai [tex](-1)^n[/tex] quel limite può valere 1 ma anche -1.
Non so...ma non mi convince il fatto che la condizione necessaria non sia verificata.
Sembre facile studiarne la monotonia, oppure studiarne l'assoluta convergenza......
P.S....in realtà prima di fare queste cose, che io ho provato e non so perchè mi hanno fatto sbagliare....potresti pensare di studiare l'assoluta convergenza e di fare un confronto se guardi bene:
[tex]\frac{n^2}{n^2+1}[/tex] dovresti potrerlo confrontare con una costante...
"Darèios89":
P.S....in realtà prima di fare queste cose, che io ho provato e non so perchè mi hanno fatto sbagliare....potresti pensare di studiare l'assoluta convergenza e di fare un confronto se guardi bene:
[tex]\frac{n^2}{n^2+1}[/tex] dovresti potrerlo confrontare con una costante...
la costante sarebbe $1$ ? ma quando la confronto con una costante implica che quindi la serie è convergente ?
Si, la costante è 1, credo si possa fare.
Se la confronti con una costante credo quando si prende 1 come costante, perchè se la serie di per sè è minore di 1 è come se fosse 0 che converge con somma 0, se trovi come costante che è maggiore di 1 per esempio credo si possa dire che diverge.
Mi sono ispirato ad un mio recente intervento, vedi tu, e fammi sapere che te ne pare come idea, incuriosisce anche me l'esercizio.
https://www.matematicamente.it/forum/una ... 59000.html
Se la confronti con una costante credo quando si prende 1 come costante, perchè se la serie di per sè è minore di 1 è come se fosse 0 che converge con somma 0, se trovi come costante che è maggiore di 1 per esempio credo si possa dire che diverge.
Mi sono ispirato ad un mio recente intervento, vedi tu, e fammi sapere che te ne pare come idea, incuriosisce anche me l'esercizio.
https://www.matematicamente.it/forum/una ... 59000.html
Il primo esercizio va bene.
Solo un appunto sul secondo esercizio:
Qui si parla di successioni e non di funzioni, quindi non ha senso applicare De L'Hopital... Però c'è un teorema che ti dice che se il $lim(f(x))=L$ per $x->x_0$ allora se $x_n$ è una successione tale che $x_n->x_0$ allora $limf(x_n)=L$. Nel nostro caso quindi risolvi il limite di $lim_(x->+oo) x/(2x+4ln(x))$ e fai vedere che questo limite vale $1/2$... poi siccome la successione $x_n=n$ tende a $+oo$ (che è il nostro $x_0$) allora $lim_n f(x_n)=lim_n n/(2+4ln(n)) = 1/2$. Siccome l'esercizio in questo modo diventa lungo evita di scomodare De l'hopital e risolvi quel limite semplicemente mettendo in evidenza $n$ al numeratore e al denominatore e sfrutta il fatto che il logaritmo è più 'debole' dei polinomi.
Solo un appunto sul secondo esercizio:
Qui si parla di successioni e non di funzioni, quindi non ha senso applicare De L'Hopital... Però c'è un teorema che ti dice che se il $lim(f(x))=L$ per $x->x_0$ allora se $x_n$ è una successione tale che $x_n->x_0$ allora $limf(x_n)=L$. Nel nostro caso quindi risolvi il limite di $lim_(x->+oo) x/(2x+4ln(x))$ e fai vedere che questo limite vale $1/2$... poi siccome la successione $x_n=n$ tende a $+oo$ (che è il nostro $x_0$) allora $lim_n f(x_n)=lim_n n/(2+4ln(n)) = 1/2$. Siccome l'esercizio in questo modo diventa lungo evita di scomodare De l'hopital e risolvi quel limite semplicemente mettendo in evidenza $n$ al numeratore e al denominatore e sfrutta il fatto che il logaritmo è più 'debole' dei polinomi.
Il primo esercizio va bene in che senso?
Che la serie è divergente oppure che converge secondo il confronto?
Il limite del termine generale non si dovrebbe potere stabilire dato che è a segni alterni..
Che la serie è divergente oppure che converge secondo il confronto?
Il limite del termine generale non si dovrebbe potere stabilire dato che è a segni alterni..
"frenky46":
Salve ragazzi vi posto 2 esercizi sulle serie numeriche sui quali non sono molto sicuro :
1 ) $sum_(n=1)^(infty) (-1)^n*(n^2)/(n^2+1)$
per questa serie io ho pensato che data la condizione necessaria di convergenza il termine generale $a_n=(n^2)/((n^2+1)$ non tende a $0$ e quindi la serie diverge.
2 ) $sum_(n=1)^(infty) 1/(2n+4ln(n))$
qui ho pensato di confrontarla asintoticamente con $b_n=1/n$ (che diverge) e quindi $lim_(n->infty) n/(2n+4ln(n))=1/2$ (l'ho risolto applicando De l'Hopital)
Che ne dite ? dove sbaglio ?
1) Il termine generale non è infinitesimo pertanto la serie non coverge(diverge positivamente o negativamente o è indeterminata), non essendo una serie a termini non negativi non puoi concludere che diverga positivamente.
2) Questa è una serie a termini positivi. La serie diverge positivamente poichè il termine generale è un infinitesimo del prim ordine dato che $lim_(
"haterofman":
1) Il termine generale non è infinitesimo pertanto la serie non coverge(diverge positivamente o negativamente o è indeterminata), non essendo una serie a termini non negativi non puoi concludere che diverga positivamente.
Giusto, grazie per la precisazione io non me ne ero accorto.
"klarence":
[quote="haterofman"]
1) Il termine generale non è infinitesimo pertanto la serie non coverge(diverge positivamente o negativamente o è indeterminata), non essendo una serie a termini non negativi non puoi concludere che diverga positivamente.
Giusto, grazie per la precisazione io non me ne ero accorto.[/quote]
Quindi il primo esercizio finisce così, posso solo dire che la serie non avendo il termine generale infinitesimo non converge ?
corretto ?
"frenky46":
corretto ?
Si si, corretto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo