Serie numeriche
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto nell' approccio per studiare il carattere di questa serie, ho provato ad applicare il criterio del confronto + il criterio della radice ma con scarsi risultati. Grazie a tutti.
$ sum_(n = \2) ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) * sin ^2(x) $
$ sum_(n = \2) ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) * sin ^2(x) $
Risposte
Ciao, benvenuto sul forum!
Il criterio della radice funziona. Potresti scrivere i passaggi che hai fatto?
Il criterio della radice funziona. Potresti scrivere i passaggi che hai fatto?
Ciao luca97__,
Mi associo a Mephlip nel darti il benvenuto sul forum!
Ritengo che tu abbia scritto male la serie, perché così come l'hai scritta il $ sin^2(x) $ si può ovviamente portare fuori dal segno di sommatoria (non dipende da $n$):
$\sum_{n = 2}^{+\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) \cdot sin ^2(x) = sin^2(x) \cdot \sum_{n = 2}^{+\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) $
Se invece, come ritengo più probabile, hai scritto una $x$ al posto di una $n$, cioè la serie proposta è in realtà
$\sum_{n = 2}^{+\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) \cdot sin ^2(n)$
allora puoi verificare facilmente che per $n \ge 2 $ la quantità fra parentesi tonde è senz'altro positiva o al più nulla (per $n = 2$), per cui la serie proposta è a termini positivi ed ovviamente si ha:
$\sum_{n = 2}^{+\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) \cdot sin ^2(n) \le \sum_{n = 2}^{+\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) $
Posto poi $a_n := ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) $, si può verificare che $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $, pertanto la serie proposta soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy e può convergere. A questo punto puoi applicare il criterio della radice, ma anche il criterio del rapporto, per verificare che in effetti la serie proposta converge.
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"luca97__":
$\sum_(n = 2) ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) * sin ^2(x)$
Ritengo che tu abbia scritto male la serie, perché così come l'hai scritta il $ sin^2(x) $ si può ovviamente portare fuori dal segno di sommatoria (non dipende da $n$):
$\sum_{n = 2}^{+\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) \cdot sin ^2(x) = sin^2(x) \cdot \sum_{n = 2}^{+\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) $
Se invece, come ritengo più probabile, hai scritto una $x$ al posto di una $n$, cioè la serie proposta è in realtà
$\sum_{n = 2}^{+\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) \cdot sin ^2(n)$
allora puoi verificare facilmente che per $n \ge 2 $ la quantità fra parentesi tonde è senz'altro positiva o al più nulla (per $n = 2$), per cui la serie proposta è a termini positivi ed ovviamente si ha:
$\sum_{n = 2}^{+\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) \cdot sin ^2(n) \le \sum_{n = 2}^{+\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) $
Posto poi $a_n := ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) $, si può verificare che $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $, pertanto la serie proposta soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy e può convergere. A questo punto puoi applicare il criterio della radice, ma anche il criterio del rapporto, per verificare che in effetti la serie proposta converge.
"Mephlip":
Ciao, benvenuto sul forum!
Il criterio della radice funziona. Potresti scrivere i passaggi che hai fatto?
Grazie mille della risposta ragazzi, purtroppo essendo alle prime armi (provengo da un classico) ho applicato il criterio della radice a questo limite:
$ lim_(n -> +oo ) ((n^2-2n)/n^2-n+3)^(n^2) $
E di conseguenza trascuravo il sin(n) e la relazione suggeritami pilloeffe.
Non avendo solide basi questa materia mi sembra insormontabile. Grazie mille!
"Mephlip":
Ciao, benvenuto sul forum!
Il criterio della radice funziona. Potresti scrivere i passaggi che hai fatto?
Inoltre ho anche fatto l'errore di considerare la serie di un prodotto come il prodotto delle serie (come con i limiti di funzione per capirci):
$ sum_(n = \2) ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2)*sin(n) = sum_(n = \2) ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2)* sum_(n = 2)sin(n) \) $
So che è un errore sciocco
ma mi sono fatto trascinare dalla teoria dei limiti. Grazie a tutti!
"luca97__":
Grazie mille della risposta ragazzi, purtroppo essendo alle prime armi (provengo da un classico)
Prego, per il fatto di provenire da un classico non farti demoralizzare da alcuni docenti universitari: è successo lo stesso a mio padre, gli avevano perfino detto di lasciar perdere gli studi in Ingegneria Elettrotecnica... Non solo è diventato ingegnere elettrotecnico, ma è anche andato in pensione da direttore generale di una multiutility.
Visto che sei alle prime armi, verifichiamo insieme la condizione necessaria di convergenza di Cauchy:
$ \lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} ((n^2-2n)/(n^2-n+3))^(n^2) = \lim_{n \to +\infty} ((n^2-n + 3 - n - 3)/(n^2- n + 3))^(n^2) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} (1 + (- n - 3)/(n^2 - n + 3))^(n^2) = \lim_{n \to +\infty} (1 + 1/((n^2 - n + 3)/(- n - 3)))^(n^2) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} {[(1 + 1/((n^2 - n + 3)/(- n - 3)))^{(n^2 - n + 3)/(- n - 3)}]^{(- n - 3)/(n^2 - n + 3)}}^(n^2) = \lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/((n^2 - n + 3)/(- n - 3)))^{(n^2 - n + 3)/(- n - 3)}]^{- (n^3 + 3n^2)/(n^2 - n + 3)} = $
$ = e^{- \infty} = 0 $
ove si è fatto uso del limite notevole $\lim_{f(n) \to \pm \infty} (1 + 1/(f(n)))^{f(n)} = e $ e ti chiedo di passarmi la notazione $e^{-\infty} $ che non è proprio rigorosa (non la scrivere all'esame...
), ma è utile per capire come vanno le cose. Quindi in effetti la condizione necessaria di convergenza di Cauchy è verificata e la serie può convergere. Se ora applichiamo il criterio della radice, occorre risolvere il limite seguente:[tex]\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} \bigg(\frac{n^2-2n}{n^2-n+3}\bigg)^n[/tex]
I passaggi sono identici a quelli appena visti per verificare la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, ma stavolta si ha $n$ invece di $n^2$, per cui si ottiene:
$ \lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/((n^2 - n + 3)/(- n - 3)))^{(n^2 - n + 3)/(- n - 3)}]^{- (n^2 + 3n)/(n^2 - n + 3)} = e^{- 1} = 1/e < 1 $
Pertanto in base al criterio della radice la serie proposta converge.
Sono d'accordo con pilloeffe, sia sullo svolgimento che sui consigli universitari. Per lo studio: non sarà facile, ci vorrà un po' a recuperare ma con la giusta ostinazione e i dovuti "sacrifici" si possono ottenere risultati notevoli. Perciò, se ne hai la possibilità, continua a perseverare e i risultati arriveranno. Per qualsiasi aiuto, scrivi pure qui; se ci mostrerai impegno, saremo contentissimi di aiutarti.
P.S.: Se ti senti a tuo agio a rispondere: cosa studi?
P.S.: Se ti senti a tuo agio a rispondere: cosa studi?
"Mephlip":
Sono d'accordo con pilloeffe, sia sullo svolgimento che sui consigli universitari. Per lo studio: non sarà facile, ci vorrà un po' a recuperare ma con la giusta ostinazione e i dovuti "sacrifici" si possono ottenere risultati notevoli. Perciò, se ne hai la possibilità, continua a perseverare e i risultati arriveranno. Per qualsiasi aiuto, scrivi pure qui; se ci mostrerai impegno, saremo contentissimi di aiutarti.
P.S.: Se ti senti a tuo agio a rispondere: cosa studi?
Grazie mille anche dei consigli! Studio ingegneria dei materiali al Politecnico di Napoli.
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