Serie numeriche
Salve a tutti, ho un problemino con il seguente esercizio (l'ho preso da un vecchio compito di analisi 1):
"Trovare l'insieme di tutti e soli i numeri $x\in RR$ per i quali almeno una delle seguenti due serie è convergente:"
$sum_(n=1)^(\infty)|x+2|^(n^2+n)$ e $sum_(n=1)^(\infty)n^(3x+2)tg1/n^3$
Ho ragionato così:
(1° serie): possiamo confrontarla asintoticamente con la serie geometrica, la quale converge $<=>$ la ragione è compresa tra $-1$ e $1$. Pertanto $-1 -3
Pertanto, ritornando al quesito iniziale, fra le risposte appetibili ci sono: $]-3,-1[$ e $]-\infty,0[$ (quest'ultima è la risposta corretta). Secondo me sono entrambe corrette .. qualcuno sa darmi qualche delucidazione? Grazie a tutti per l'attenzione.
"Trovare l'insieme di tutti e soli i numeri $x\in RR$ per i quali almeno una delle seguenti due serie è convergente:"
$sum_(n=1)^(\infty)|x+2|^(n^2+n)$ e $sum_(n=1)^(\infty)n^(3x+2)tg1/n^3$
Ho ragionato così:
(1° serie): possiamo confrontarla asintoticamente con la serie geometrica, la quale converge $<=>$ la ragione è compresa tra $-1$ e $1$. Pertanto $-1
Pertanto, ritornando al quesito iniziale, fra le risposte appetibili ci sono: $]-3,-1[$ e $]-\infty,0[$ (quest'ultima è la risposta corretta). Secondo me sono entrambe corrette .. qualcuno sa darmi qualche delucidazione? Grazie a tutti per l'attenzione.
Risposte
ora, non vorrei dire una stupidata ma la prima non mi sembra converga. applica per esempio il criterio della radice. non mi sembra essere una serie geometrica, l'esponente è infatti $n^2+n$.
la seconda invece è corretta.
la seconda invece è corretta.
"cooper":
ora, non vorrei dire una stupidata ma la prima non mi sembra converga. applica per esempio il criterio della radice. non mi sembra essere una serie geometrica, l'esponente è infatti $n^2+n$.
la seconda invece è corretta.
Il tuo ragionamento mi sembra più che corretto.. però adesso pensando al quesito che abbiamo fatto ieri viewtopic.php?f=36&t=167268
perchè in quel caso veniva convergente?
Attenti, ci sono parecchi errori.
. La prima parte è corretta
. La seconda è sbagliata, controlla quando converge la serie $sum_(n=1)^(\infty)1/n^(-3x+1) $.
Inoltre c'è un errore anche $ -3x+1<1 <=> x<0 $.
. La prima parte è corretta
. La seconda è sbagliata, controlla quando converge la serie $sum_(n=1)^(\infty)1/n^(-3x+1) $.
Inoltre c'è un errore anche $ -3x+1<1 <=> x<0 $.
"Wilde":
. La prima parte è corretta
ho effettivamente detto una stupidata.
"Wilde":
Inoltre c'è un errore anche $ -3x+1<1 <=> x<0 $.
credo sia stato un refuso anche perchè il risultato è corretto. dovrebbe essere $-3x+1 > 1$ che porta come intervallo $ x < 0 $
Può essere che sia un semplice refuso, non lo so.
Volevo lo dicesse lui, anche perché ha scritto
e quindi forse non è una semplice distrazione.
Volevo lo dicesse lui, anche perché ha scritto
"Caronte":
la serie armonica generalizzata avente esponente minore di $ 1 $ (in modo che sia convergente)
e quindi forse non è una semplice distrazione.
Si il verso della disuguaglianza è stato un'errore di battitura, adesso lo correggo.. Tornando al problema dell'intervallo di convergenza, avete qualche consiglio?
Ho corretto anche l'altro errore..
"Wilde":
Può essere che sia un semplice refuso, non lo so.
in un esercizio praticamente identico ieri ha messo il verso giusto, quindi in un certo senso "so che lo sapeva". ad ogni modo l'importante è che abbia capito come risolverli.
"cooper":
in un esercizio praticamente identico ieri ha messo il verso giusto, quindi in un certo senso "so che lo sapeva". ad ogni modo l'importante è che abbia capito come risolverli.
L'esercizio di ieri l'ho capito.. Ed è proprio questo che mi lascia perplesso, non capisco perché in questo caso scartiamo l'intervallo $]-3,-1[$
perchè il primo è contenuto nel secondo. con il secondo prendi anche il primo
"cooper":
perchè il primo è contenuto nel secondo. con il secondo prendi anche il primo
Però il testo recita "trovare l'insieme [..] per i quali ALMENO UNA delle seguenti serie è convergente"
Che sia ambiguo il testo??
almeno una delle due, significa una o più. non necessariamente solo una. nel tuo caso in quell'intervallo ne convergono due.
"cooper":
almeno una delle due, significa una o più. non necessariamente solo una. nel tuo caso in quell'intervallo ne convergono due.
Ok, però anche in $]-3,-1[$ almeno una delle due serie (la prima) era convergente.
uhm vero. a questo punto magari con "almeno una" intendeva che bisognasse prendere l'insieme dove ne convergevano di più. 
non saprei. comunque l'importante è che tu abbia capito come svolgerle, più che trovare la risposta a questo esercizio in particolare. nel dubbio potresti chiedere al professore.
non saprei. comunque l'importante è che tu abbia capito come svolgerle, più che trovare la risposta a questo esercizio in particolare. nel dubbio potresti chiedere al professore.
Farò proprio così! Ti ringrazio di cuore per l'aiuto datomi 
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