Serie Numeriche
Salve sono nuovo nel forum, ho avuto difficoltà in un esercizio di analisi 1 che chiedeva di determinare il carattere della seguente serie [formule]$\sum_{n=1}^\infty(n^n)/((n!+ e^n) * 3^n) $[/formule]
In particolare ho avuto difficoltà a dimostrare che il limite della successione è 0, dopo supponendo vera questa cosa basta applicare il criterio della radice e non è neanche tanto difficile, ma con il limite per verificare la condizione necessaria non saprei come muovermi, ho provato molte cose, messa in evidenza, ecc, ma senza risultato... potete aiutarmi?
In particolare ho avuto difficoltà a dimostrare che il limite della successione è 0, dopo supponendo vera questa cosa basta applicare il criterio della radice e non è neanche tanto difficile, ma con il limite per verificare la condizione necessaria non saprei come muovermi, ho provato molte cose, messa in evidenza, ecc, ma senza risultato... potete aiutarmi?
Risposte
usando l'approssimazione di Stirling $ n!~=sqrt(2pin)(n/e)^n $:
$ n^n/((n!+e^n)e^n)<= n^n/(n!*e^n)~= n^n/(sqrt(2pin)(n/e)^n*e^n)=1/sqrt(2pin)rarr0 $ per $ nrarr+oo $
$ n^n/((n!+e^n)e^n)<= n^n/(n!*e^n)~= n^n/(sqrt(2pin)(n/e)^n*e^n)=1/sqrt(2pin)rarr0 $ per $ nrarr+oo $
Grazie mille!, ma non ci sarei mai arrivato perché non l'ho fatta quest'approssimazione, molto interessante comunque ne terrò conto in futuro!!
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