Serie numeriche
Non riesco a risolvere questi esercizi:
Studiare la convergenza delle seguenti serie:
1) $ sum_(k = 0)^infty(k^2(4^k))/(2^k+5^k) $
2) $ sum_(n = 1)^infty (2n+1)/(n^2+3)log(1+1/n^4) $
Entrambe le serie sono a termini positivi quindi sono sicuramente convergenti o divergenti, per entrambe ho provato ad applicare il criterio del confronto ma in nessuna delle due sono riuscito a ricavare maggiorazioni o minorazioni che mi portino a qualcosa. Come potrei partire per risolverle?
Grazie.
Studiare la convergenza delle seguenti serie:
1) $ sum_(k = 0)^infty(k^2(4^k))/(2^k+5^k) $
2) $ sum_(n = 1)^infty (2n+1)/(n^2+3)log(1+1/n^4) $
Entrambe le serie sono a termini positivi quindi sono sicuramente convergenti o divergenti, per entrambe ho provato ad applicare il criterio del confronto ma in nessuna delle due sono riuscito a ricavare maggiorazioni o minorazioni che mi portino a qualcosa. Come potrei partire per risolverle?
Grazie.
Risposte
Io direi confronto asintotico nella seconda e criterio della radice nella prima.
Intanto grazie.
Per la prima sono riuscito ad applicare il criterio della radice e mi è tornato che la serie è convergente, per la seconda invece non mi è riuscito applicare il criterio asintotico (probabilmente anche perchè non l'ho capito molto). In ogni caso, siccome per risolvere il primo esercizio mi è sembrato di impiegare molto tempo ed essendo questo esercizio preso da un esame che dura al massimo 1 ora e mezza, quale potrebbe essere un altro metodo per cercare di risolverlo in minor tempo?
Per la prima sono riuscito ad applicare il criterio della radice e mi è tornato che la serie è convergente, per la seconda invece non mi è riuscito applicare il criterio asintotico (probabilmente anche perchè non l'ho capito molto). In ogni caso, siccome per risolvere il primo esercizio mi è sembrato di impiegare molto tempo ed essendo questo esercizio preso da un esame che dura al massimo 1 ora e mezza, quale potrebbe essere un altro metodo per cercare di risolverlo in minor tempo?
Molto tempo? Mah....
$$\lim_{k\to\infty}\left(\frac{k^2 4^k}{2^k+5^k}\right)^{1/k}=\lim_{k\to\infty}\frac{(k^{1/k})^2\cdot 4}{(2^k+5^k)^{1/k}}=\lim_{k\to\infty}\frac{4(k^{1/k})^2}{5[(2/5)^k+1]^{1/k}}=\frac{4}{5}$$
visto che $(2/5)^k\to 0$ e $k^{1/k}\to 1$. Non mi pare ci vogliano più di due minuti proprio ad andare lunghi.
Per l'altro, il termine generale è asintotico a $\frac{2n}{n^2}\cdot\frac{1}{n^4}$, visto che in un polinomio per $n\to \infty$ si considera la potenza di grado più alto e se $t\to 0$ allora $\log(1+t)$ è asintotico a $t$.
$$\lim_{k\to\infty}\left(\frac{k^2 4^k}{2^k+5^k}\right)^{1/k}=\lim_{k\to\infty}\frac{(k^{1/k})^2\cdot 4}{(2^k+5^k)^{1/k}}=\lim_{k\to\infty}\frac{4(k^{1/k})^2}{5[(2/5)^k+1]^{1/k}}=\frac{4}{5}$$
visto che $(2/5)^k\to 0$ e $k^{1/k}\to 1$. Non mi pare ci vogliano più di due minuti proprio ad andare lunghi.
Per l'altro, il termine generale è asintotico a $\frac{2n}{n^2}\cdot\frac{1}{n^4}$, visto che in un polinomio per $n\to \infty$ si considera la potenza di grado più alto e se $t\to 0$ allora $\log(1+t)$ è asintotico a $t$.
Avevo risolto il limite in un altro modo, mi tornava lo stesso 4/5 però il procedimento era molto più lungo.
Grazie.
Grazie.
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