Serie numeriche

S.Paicu1
Buona sera io sono Stefan e sono uno studente ed ho un dubbio... ho visto un professore che spiegando le serie geometriche ha detto che il primo criterio di convergenza è che la serie tenda a 0... e fin qui ci siamo... ma poi ha detto che una serie generica con x elevato alla n con n che va da 0 a + infinito la seria può essere convergente per x compreso tra -1 e +1... il mio dubbio è: ma se ho x<0 e lo elevo ad un esponente pari o dispari a seconda di come varia n non dovrei avere un limite definito in quanto a seconda che n sia pari o dispari la somma oscilla.... vi ringrazio in anticipo

Risposte
johnhappy1
Ciao! Non so cosa intendi dicendo che il primo criterio di convergenza è che la serie tendi a 0. Se intendi dire che basta che il termine generale della serie tendi a 0 questo è falso, cioè è una condizione necessaria alla convergenza ma non sufficiente (esempio la serie armonica \( \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n} \) non è convergente).
Per quanto riguarda le serie di segno alterno, come ad esempio \( \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \) , esiste un criterio molto comodo di convergenza che è quello di Leibniz, che dice che se il valore assoluto del termine generale di una serie a segno alterno tende a 0, allora la serie è convergente. Nell'esempio di prima si ha che \( |(-1)^n\frac{1}{n}|=|\frac{1}{n}|\to 0 \) quindi la serie \( \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n\frac{1}{n} \) è convergente a differenza della serie \( \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n} \) che non converge (è anche un esempio di serie convergente ma non assolutamente convergente).
Per comprendere il perché di questa magia per le serie di segno alterno puoi guardare la dimostrazione del criterio di Leibniz (la trovi facilmente). L'idea è che se consideriamo una serie \( \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n a_n \) che soddisfa le ipotesi del criterio, indicando con \(s_k= \sum_{n = 1}^{k} (-1)^n a_n \) la ridotta $k-esima$, allora otteniamo che la successione delle ridotte pari $(s_{2k})_{k\in \mathbb{N}}$ è una successione decrescente minorata dalla successione $(s_{2k+1})_{k\in \mathbb{N}}$ delle ridotte dispari che invece risulta essere crescente. Allora queste 2 successioni, essendo successioni monotone limitate, convergono e il fatto che il limite sia lo stesso è una conseguenza del fatto che il valore assoluto del termine generale della serie di partenza tende a 0, e quindi la differenza tra 2 ridotte consecutive tende a 0.

S.Paicu1
ciao ti ringrazio per avermi risposto e comunque sisi lo so che se la successione tende a 0 non si può affermare che la serie converge ma io prendevo l'esempio di una sola successione x elevato alla n come quella che prende in questo video all'incirca a metá quando parla di criteri di convergenza http://m.youtube.com/?hl=it&gl=IT#/watch?v=dF_hyMKu_tA perchè dice che se prendo x conpreso tra -1 e 0 la serie non è indeterminata? infatti io credevo che si potesse prendere x solo compreso tra 0 e 1...

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