Serie numeriche
Nella risoluzione delle serie, mi sembra di aver compreso che si utilizzano gli infinitesimi, insomma, gli sviluppi di Taylor sono utilissimi per risolvere le serie, vero????
Adesso mi chiedo nella seguente serie:
$sum_(n=1)^(oo) logn/(n^(3/2))$
Come fa a dire che il $logn = o(n^(1/3))$
Poi non capisco come fa a continuare dicendo che:
$logn/(n^(3/2)) = o(1/n^(7/6))$
Adesso mi chiedo nella seguente serie:
$sum_(n=1)^(oo) logn/(n^(3/2))$
Come fa a dire che il $logn = o(n^(1/3))$
Poi non capisco come fa a continuare dicendo che:
$logn/(n^(3/2)) = o(1/n^(7/6))$
Risposte
quella è una generalizzazione della serie armonica generalizzata:
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}, \,\,\,\,\alpha,\beta \in \mathbb{R}; $$
si dimostra, applicando ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}\stackrel{Cauchy}{\Longrightarrow}\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{2^{n\alpha}\ln^{\beta}2^n}&=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n\alpha-n}\left(n\ln2 \right)^{ \beta }}=\frac{1}{\ln^{ \beta }2 }\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n(\alpha-1)} n^{ \beta } }\\
&=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta>1, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Diverge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta\le1, & \mbox{Diverge }
\end{cases}
\end{align*}
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}, \,\,\,\,\alpha,\beta \in \mathbb{R}; $$
si dimostra, applicando ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}\stackrel{Cauchy}{\Longrightarrow}\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{2^{n\alpha}\ln^{\beta}2^n}&=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n\alpha-n}\left(n\ln2 \right)^{ \beta }}=\frac{1}{\ln^{ \beta }2 }\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n(\alpha-1)} n^{ \beta } }\\
&=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta>1, & \mbox{Converge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{Diverge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta\le1, & \mbox{Diverge }
\end{cases}
\end{align*}
Correggimi se sbaglio, ma il criterio di condensazione di Cauchy è il seguente:
$sum_(n=1)^(oo) a_n=>$ se è a termini positivi ed è decrescente, allora si può utilizzare Cauchy.
Allora la serie sarà $sum_(n=1)^(oo) a_n= sum_(n=1)^(oo) 2^n*(a_(2^n))$
In sostanza l'argomento della serie vine moltiplicato per $2^n$ e al pedice $n=2^n$. Vero?
Poi si traggono le conclusioni.....
Insomma, dopo aver moltiplicato per $2^n$ l'argomento della serie, vado a sostituire tutte le $n$ con $2^n$
Giusto
$sum_(n=1)^(oo) a_n=>$ se è a termini positivi ed è decrescente, allora si può utilizzare Cauchy.
Allora la serie sarà $sum_(n=1)^(oo) a_n= sum_(n=1)^(oo) 2^n*(a_(2^n))$
In sostanza l'argomento della serie vine moltiplicato per $2^n$ e al pedice $n=2^n$. Vero?
Poi si traggono le conclusioni.....
Insomma, dopo aver moltiplicato per $2^n$ l'argomento della serie, vado a sostituire tutte le $n$ con $2^n$
Giusto
"Noisemaker":
quella è una generalizzazione della serie armonica generalizzata:
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}, \,\,\,\,\alpha,\beta \in \mathbb{R}; $$
Penso di aver compreso che la tua è una formula generale, giusto?
Ok, per Cauchy, ma perchè la tua serie parte da $n=2$
Non sto riuscendo a capire come bisogna risolverla!
Potresti aiutarmi a capirla????
Non sto riuscendo a capire il collegamento con la formula che mi hai dato, il mo testo fa questo:
Cosa e come a fatto ad utilizzare il criterio di condensazione????
Non riesco a capire come fa a dire che quello è un infinitesimo di quell'ordine! Come fa?
Penso proprio si tratta dell'applicazione della serie armonica generalizzata nell'ordine degli infinitesimi...
$lim_(n->+oo) (a_n)/(1/n^(alpha)) = lim_(n->+oo) n^(alpha)*(a_n) = l$
Allora :
$lim_(n->+oo)((logn)/(n))/(1/n^(alpha)) = lim_(n->+oo)(n^(alpha-1)*logn)/(n^(1/2))$
Affinchè tale limite risulti finito $!=0$, si deve avere $alpha -1=1/2= 3/2$.
Poichè il termine generale $a_n = (logn)/(n^(3/2))$ è di infinitesimo di ordine $3/2 in 1,+oo$, la serie data è convergente!
Ho detto bene?
Cosa e come a fatto ad utilizzare il criterio di condensazione????
Non riesco a capire come fa a dire che quello è un infinitesimo di quell'ordine! Come fa?
Penso proprio si tratta dell'applicazione della serie armonica generalizzata nell'ordine degli infinitesimi...
$lim_(n->+oo) (a_n)/(1/n^(alpha)) = lim_(n->+oo) n^(alpha)*(a_n) = l$
Allora :
$lim_(n->+oo)((logn)/(n))/(1/n^(alpha)) = lim_(n->+oo)(n^(alpha-1)*logn)/(n^(1/2))$
Affinchè tale limite risulti finito $!=0$, si deve avere $alpha -1=1/2= 3/2$.
Poichè il termine generale $a_n = (logn)/(n^(3/2))$ è di infinitesimo di ordine $3/2 in 1,+oo$, la serie data è convergente!
Ho detto bene?
Sto cercando di fare bene la seguente serie numerica:
$ sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n (sqrtn logn)/(n^2+n+1)$
Potreste darmi per favore una mano a dare le giuste conclusioni? Provo a dire qualcosa, ma correggetemi se sbaglio!
Risoluzione
1) Studio la convergenza assoluta:
$ sum_(n=1)^(+oo) (sqrtn logn)/(n^2+n+1)$
$(sqrtn logn)/(n^2+n+1)~ 1/n^2$
Utilizzando gli infinitesimi: $(1/n^2)/(1/n^(alpha)) = (n^(alpha))/(n^2) $ e quindi $alpha =2$, $alpha >1$ la serie converge in assoluto! Giusto fin quì?
Verifico la successione.
$b_(n+1) = (sqrt(n+1) log(n+1))/((n+1)^2+(n+1)+1)>(sqrtn logn)/(n^2+n+1) = b_n $ Giusto?
Per il criterio di Lebeniz, anche se la serie è a termini positivi, non decresce, ma cresce e quindi non posso dire che converge!
Insomma, in assoluto converge, la successione non converge, MA ALLORA COSA POSSO DIRE?????
Ho penato di studiare la convergenza anche nel seguente modo:
1) $lim_n b_n = lim_n (sqrtn logn)/(n^2+n+1) =0$
2) La successione tende a decrescere, per il denominatore che è maggiore del numeratore!
Se adesso considero la $f(x) = (sqrtn logn)/(n^2+n+1) $ e ricavo la derivata pensando al campo di studio , cioè l' intervallo $[1,+oo)$, ho che $f'(x) = 0$, Cosa posso dire? Se fosse $f'(x) < 0$ allora potrei dire che la successione converge, ma se è zero, cosa si può dire???
$ sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n (sqrtn logn)/(n^2+n+1)$
Potreste darmi per favore una mano a dare le giuste conclusioni? Provo a dire qualcosa, ma correggetemi se sbaglio!
Risoluzione
1) Studio la convergenza assoluta:
$ sum_(n=1)^(+oo) (sqrtn logn)/(n^2+n+1)$
$(sqrtn logn)/(n^2+n+1)~ 1/n^2$
Utilizzando gli infinitesimi: $(1/n^2)/(1/n^(alpha)) = (n^(alpha))/(n^2) $ e quindi $alpha =2$, $alpha >1$ la serie converge in assoluto! Giusto fin quì?
Verifico la successione.
$b_(n+1) = (sqrt(n+1) log(n+1))/((n+1)^2+(n+1)+1)>(sqrtn logn)/(n^2+n+1) = b_n $ Giusto?
Per il criterio di Lebeniz, anche se la serie è a termini positivi, non decresce, ma cresce e quindi non posso dire che converge!
Insomma, in assoluto converge, la successione non converge, MA ALLORA COSA POSSO DIRE?????
Ho penato di studiare la convergenza anche nel seguente modo:
1) $lim_n b_n = lim_n (sqrtn logn)/(n^2+n+1) =0$
2) La successione tende a decrescere, per il denominatore che è maggiore del numeratore!
Se adesso considero la $f(x) = (sqrtn logn)/(n^2+n+1) $ e ricavo la derivata pensando al campo di studio , cioè l' intervallo $[1,+oo)$, ho che $f'(x) = 0$, Cosa posso dire? Se fosse $f'(x) < 0$ allora potrei dire che la successione converge, ma se è zero, cosa si può dire???
Hai già provato con l'assoluta convergenza 
?
Saluti dal web.
?Saluti dal web.
"theras":
Hai già provato con l'assoluta convergenza
Saluti dal web.
Leggi il mio messaggio precedente al tuo, sto finendo di risolverlo! Cosa ne pensi?
Penso come il termine generale della serie sia asintotico a $("log"n)/(n^(3/2))$,
ed inoltre che se c'è assoluta convergenza non occorre, ai tuoi fini, riferirsi al criterio di Liebnitz
(che richiede la non crescenza, per inciso..):
saluti dal web.
ed inoltre che se c'è assoluta convergenza non occorre, ai tuoi fini, riferirsi al criterio di Liebnitz
(che richiede la non crescenza, per inciso..):
saluti dal web.
"theras":
Penso come il termine generale della serie sia asintotico a $("log"n)/(n^(3/2))$,
ed inoltre che se c'è assoluta convergenza non occorre, ai tuoi fini, riferirsi al criterio di Liebnitz
(che richiede la non crescenza, per inciso..):
saluti dal web.
Ok, ma allora la serie, cosa fa?
In base a ciò che giustamente hai detto ($("log"n)/(n^(3/2))$) la serie converge, ma se tu hai utilizzato il confronto asintotico e io ho usato gli infinitesimi e siamo arrivati alla stessa conclusione, allora cosa cambia?
A posteriori nulla,ma a priori tutto(almeno potenzialmente);
per quanto riguarda i tuoi altri quesiti mi chiedo perché,essendo già certo della convergenza assoluta,
cerchi risposte pure su quella semplice:
la prima, notoriamente, è condizione sufficiente per la seconda..
Comunque lo spunto iniziale d'usare la derivata per la monotonia è utile;
l'unica cosa che mi viene da aggiungere in merito, sebbene mi sia guardato bene dallo svolgere i conti ,
è che il teorema cui credo ti stai riferendo afferma come una funzione derivabile in un intervallo,
ed ivi a derivata prima non negativa,è non decrescente in $I$:
solo che và applicato per benino..
Saluti dal web.
per quanto riguarda i tuoi altri quesiti mi chiedo perché,essendo già certo della convergenza assoluta,
cerchi risposte pure su quella semplice:
la prima, notoriamente, è condizione sufficiente per la seconda..
Comunque lo spunto iniziale d'usare la derivata per la monotonia è utile;
l'unica cosa che mi viene da aggiungere in merito, sebbene mi sia guardato bene dallo svolgere i conti
,è che il teorema cui credo ti stai riferendo afferma come una funzione derivabile in un intervallo,
ed ivi a derivata prima non negativa,è non decrescente in $I$:
solo che và applicato per benino..
Saluti dal web.
"theras":
A posteriori nulla,ma a priori tutto(almeno potenzialmente).
Non capisco osa vuoi dire che differisce potenzialmente?!?!?
Potresti aiutarmi a capire cosa vuoi dire?
"theras":
è che il teorema cui credo ti stai riferendo afferma come una funzione derivabile in un intervallo,
ed ivi a derivata prima non negativa,è non decrescente in $I$:
solo che và applicato per benino..
Poi non capisco quando dici che va applicato per benino, o meglio non capisco cosa intendi per benino!
Dove sto sbagliando?
Vorrei capire alcuni procedimenti in merito alle soluzioni delle serie a termini alterni.
Se io ho la seguente serie:
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n tg(1/n)$
So che la serie in assoluto diverge, la conferma è in $sum_(n=1)^(+oo)(1/n)$ e per il confronto asintotico si ha divergenza, perfetto, ma cosa mi fa capire se bisogna continuare a verificare la convergenza oppure è inutile verificarla per la serie di partenza?
Mi spiego....
In alcuni esercizi, il mio testo utilizza degli step, in altri si hanno step differenti e questo è sicuramente dovuto alla natura dell'esercizio, bene, ma in altri esercizi, dopo lo step che ho scritto quì per ultimo, cioè la conferma è in $sum_(n=1)^(+oo)(1/n)$ e per il confronto asintotico si ha divergenza, il testo fa la verifica con la seguente forma:
$sum_(n=1)^(+oo)f(n) = +oo$ (dicendo che non esiste soluzione e quindi la serie non converge)
Allora mi chiedo cosa è che ti fa capire se e quale metodo bisogna utilizzare per trarre le conclusioni?
In questo caso dato dalla traccia, cioè $sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n tg(1/n)$ , il testo alla fine fa la verifica mediante la verifica della successione $b_n = tan(1/n)$ e la $b_(n+1) = .....$
Cioè, ponendo $b_n = tan(1/n)$:
1) $lim_n b_n =lim_n tan(1/n) = 0$
2) La successione decresce $b_n$ decresce perchè $0<1/n=1$, si ha:
$n
Per il criterio di Lebeniz, la serie converge.
Se io non sono un esperto, dopo aver visto che la serie, in assoluto diverge, cosa mi fa capire se è il caso di utilizzare Lebeniz, oppure no? Cosa mi fa capire come muovermi?
Allora chiedo a tutti voi espertissimi della materia, COSA è che ti fa capire come bisogna risolvere le serie? Cosa è che ti fa capire che tipo di strada intraprendere?
Se io ho la seguente serie:
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n tg(1/n)$
So che la serie in assoluto diverge, la conferma è in $sum_(n=1)^(+oo)(1/n)$ e per il confronto asintotico si ha divergenza, perfetto, ma cosa mi fa capire se bisogna continuare a verificare la convergenza oppure è inutile verificarla per la serie di partenza?
Mi spiego....
In alcuni esercizi, il mio testo utilizza degli step, in altri si hanno step differenti e questo è sicuramente dovuto alla natura dell'esercizio, bene, ma in altri esercizi, dopo lo step che ho scritto quì per ultimo, cioè la conferma è in $sum_(n=1)^(+oo)(1/n)$ e per il confronto asintotico si ha divergenza, il testo fa la verifica con la seguente forma:
$sum_(n=1)^(+oo)f(n) = +oo$ (dicendo che non esiste soluzione e quindi la serie non converge)
Allora mi chiedo cosa è che ti fa capire se e quale metodo bisogna utilizzare per trarre le conclusioni?
In questo caso dato dalla traccia, cioè $sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n tg(1/n)$ , il testo alla fine fa la verifica mediante la verifica della successione $b_n = tan(1/n)$ e la $b_(n+1) = .....$
Cioè, ponendo $b_n = tan(1/n)$:
1) $lim_n b_n =lim_n tan(1/n) = 0$
2) La successione decresce $b_n$ decresce perchè $0<1/n
$n
Per il criterio di Lebeniz, la serie converge.
Se io non sono un esperto, dopo aver visto che la serie, in assoluto diverge, cosa mi fa capire se è il caso di utilizzare Lebeniz, oppure no? Cosa mi fa capire come muovermi?
Allora chiedo a tutti voi espertissimi della materia, COSA è che ti fa capire come bisogna risolvere le serie? Cosa è che ti fa capire che tipo di strada intraprendere?
Se sto trattando una serie, bene, risultano che alcuni criteri di convergenza non necessitano della verifica del limite $ lim_(n->+oo)(s_n) $
Potreste per favore aiutarmi a capire quali sono?????
Potreste per favore aiutarmi a capire quali sono?????
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