Serie numeriche

[matemalu]

Si determini per quali x la serie converge e calcolarne la somma:
$sum_{n=0}^(+oo) (4^n*(1-x)^n)/(n+1)$
Innanzitutto io ho imposto che $lim_(n->+oo) (4-4x)^n/(n+1)=0$ perché è la condizione necessaria per la convergenza di una serie, quindi $|4-4x|<1$ ovvero $x in (3/4,5/4]$. Ora avrei 2 domande:
1) per quegli x il limite fa 0 ma devo dimostrare con qualche criterio che la serie converge? Perché in realtà quella è solo una condizione necessaria
2)Come calcolo la somma?

[Noisemaker]

be ...in realtà per quei valori di $x$ il termine generale della serie risulta infinitesimo di ordine esponenziale, e quindi sicuramente maggiore di uno e ciò ti consente di concludere che la serie converge (assolutamente);

[matemalu]

Infinitesimo di ordine esponenziale ok..non mi è chiaro perché maggiore di uno e in che modo questo mi consente di dire che la serie converge assolutamente

[Noisemaker]

perchè il termine generale di una serie se è infinitesimo di ordine superiore ad $1$ ti consente di concludere che converge

[regim]

L'intervallo di convergenza va bene, ma da quella disequazione non si evince, e nemmeno dal criterio della radice, per cui dovrebbe essere aperto e con gli stessi estremi di quello che hai scritto, come hai fatto a dire che converge in $5/4$?(ti riferivi solo alla condizione necessaria, ok)
Comunque mi risulta addirittura uniformemente convergente in qualunque chiuso propriamente contenuto, e il termine generico sembra fatto apposta per servirsi dell'integrazione, e in effetti potresti prendere quella strada per calcolare la somma, cosi' a occhio.