Serie Numeriche

[M4rk1]

Buon giorno a tutti appassionati di analisi e non ! Vorrei chiedere info sul seguente esercizio, ho la seguente serie numerica e devo vedere se converge o meno:
$sum(1-cos(\frac{2n+7}{4n^3+7n+3}))$

allora io ho seguito due metodi ma sono poco convinto:
1- ho fatto il $lim_{x->+\infty}1-cos(\frac{2n+7}{4n^3+7n+3})$ ed ho ottenuto che tale limite è $0$ ed ho concluso che la serie è convergente;
2- ho detto che $1-cos(\frac{2n+7}{4n^3+7n+3})$ è asintotico a $1/2(\frac{2n+7}{4n^3+7n+3})^2$ poi ho confrontato la serie dicendo che $1/2(\frac{2n+7}{4n^3+7n+3})^2<=\frac{1}{n^6}$ e poichè $\frac{1}{n^6}$ converge allora la serie converge.

Sono giusti in due metodi?

[Noisemaker]

il punto uno non va bene: il fatto che il limite del terimine generale vada a zero, ti da solo la condizione necessaria per la convergenza, ma non ti autorizza a concludere che la serie è convergente;

il punto due è giusto , con la sola nota che devi assicurarti che il termine generale della serie sia a termini positivi, condizione necessaria per poter applicare il confronto asintotico

per precisione, sempre relativamente al punto due, avresti potuto confrontare cosi:
\[1-\cos\left(\frac{2n+7}{4n^3+7n+3}\right)\sim1-\cos\left(\frac{1 }{2n^2 }\right)\sim \frac{1 }{8n^4}\to\mbox{converge} \]

[M4rk1]

Grazie mille!!!!