Serie numeriche

[GreenLink]

Ciao, devo determinare il comportamento delle serie seguenti:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \arcsin (\frac{n+1}{n!}) $$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt(n) \log (\frac{n^2+1}{n^2+3}) $$

ma non so bene come muovermi visto che non hanno segno costante.
Qualche idea? Grazie.

[Noisemaker]

non hanno segno costante? sicuro?

[GreenLink]

è vero hanno segno costante! ho provato con il criterio del rapporto e della radice ma cmq non riesco a risolvere quei limiti...

[Noisemaker]

consideriamo la prima....
\begin{align}\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \arcsin \left(\frac{n+1}{n!}\right)\end{align}
essendo una serie a termini positivi, possiamo applicare, ad esempio il criterio del confronto asintotico, in considerazione dal fatto che l'argomanto dell'arcoseno è infinitesimo, e dunque considerando il termine generale, abbiamo:
\begin{align} n^2 \arcsin \left(\frac{n+1}{n!}\right)\sim \frac{n^2(n+1)}{n!} \sim\frac{n^3}{n!} \to\mbox{converge} \end{align}
infatti la l'ultima serie converge per il criterio del rapporto:
\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n!} \stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+3)^3}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{n^3}\sim\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n!(n+1) }\cdot n! =\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{ n+1 }=0

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[GreenLink]

Non ho capito perchè hai voluto maggiorare con $\frac{1}{n!}$ (e la maggiorazione non mi sembra corretta). Comunque effettivamente $\frac{n^3}{n!}$ è convergente per il criterio del rapporto. Grazie mille!

[Noisemaker]

ho corrretto perchè avevo scritto male!

[GreenLink]

Ok!

[GreenLink]

Per quanto riguarda invece l'altro esercizio, studio la serie con i termini opposti perchè la serie è a termini negativi.
Sviluppando il logaritmo in pratica mi viene fuori $\frac{2 \sqrt n}{n^2 +3}$, su cui il criterio del rapporto fallisce invece. Hai qualche idea?

[GreenLink]

Mi basta dire che è asintoticamente equivalente a $\frac{1}{n^\frac{3}{2}}$ per dire che converge?

[Noisemaker]

la serie è a termini negativi, quindi la tratti come se fosse a termini positivi .... considerando il comportamento asintotico del termine generale hai che:
\begin{align}
\sqrt n\ln\left(\frac{n^2+1}{n^2+3}\right)\sim \sqrt n \left(\frac{n^2+1}{n^2+3}-1\right)= \sqrt n \left(\frac{4}{n^2+3} \right)\sim\sqrt n \cdot \frac{1}{n^2 }=\frac{1}{n^{ 2-\frac{1}{2}}} =\frac{1}{n^{ \frac{3}{2} }} \to\mbox{convere}
\end{align}

[GreenLink]

Abbiamo fatto gli stessi passaggi

[Noisemaker]