Serie numerica..dubbio procedimento.

[55sarah]

Ciao a tutti, il carattere della serie mi viene esatto, ma dove ho dubbi è sul procedimento/risoluzione di questo esercizio. Ditemi per favore se è corretto. Se dovesse esistere un altro procedimento più veloce scrivetelo. Grazie in anticipo.

Stabilire il carattere della serie $\sum_{n=1}^{+\infty} ((n^2+n-1)/(n^2+3n+5))^{n^2}$

ho risolto così

$a_n=((n^2+n-1)/(n^2+3n+5))^{n^2}$

$\exp(n^2\cdot \ln(1-(2n+6)/(n^2+3n+5)))$

ok ora all'esponente siamo per $n\rightarrow+\infty$
$n^2\cdot \ln(1-(2n+6)/(n^2+3n+5))=n^2\ln(1-2/n)=n^2(-2/n+o(1/n))=-2n+o(n)\sim -2n$

ho scritto quel $\ln(1-2/n)$ perchè il $\lim_\{n\rightarrow+\infty} ((2n+6)/(n^2+3n+5))=\lim_{n\rightarrow+\infty} -2/n$, ossia ha lo stesso comportamento!
per cui quello è un logaritmo più una quantità infinitesima. È corretto il procedimento?

Quindi per concludere il carattere della serie..abbiamo
$e^{-2n}$ che è $

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Risposte

theras

28 mag 2012, 17:29

Ciao!
Beh,in senso lato non mi sembra tu abbia sbagliato:
certo è che ti sbrigavi prima,ricordando il corollario al teorema della radice,ad osservare che
$EElim_(n to oo)|a_n|^(1/n)=lim_(n to oo)((n^2+n-1)/(n^2+3n+5))^n=lim_(n to oo)e^(((n^2+n-1)/(n^2+3n+5)-1)n)=lim_(n to oo)e^((-2n^2-6n)/(n^2+3n+5))=e^(-2)<1$.
Saluti dal web.

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55sarah

28 mag 2012, 17:46

"theras":Ciao!
Beh,in senso lato non mi sembra tu abbia sbagliato:
certo è che ti sbrigavi prima,ricordando il corollario al teorema della radice,ad osservare che
$EElim_(n to oo)|a_n|^(1/n)=lim_(n to oo)((n^2+n-1)/(n^2+3n+5))^n=lim_(n to oo)e^(((n^2+n-1)/(n^2+3n+5)-1)n)=lim_(n to oo)e^((-2n^2-6n)/(n^2+3n+5))=e^(-2)<1$.
Saluti dal web.

ma quando si eleva a $e$, non ci vuole un logaritmo?.. ok il criterio della radice,

giusto con il criterio della radice, scritto non è così?

$root(n)(|a_n|)=((n^2+n-1)/(n^2+3n+5))^n=\lim_{x\rightarrow\+infty} \exp(n\ln(1-(2n+6)/(n^2+3n+5)))=\lim_{x\rightarrow\+infty} \exp (n \ln(1-2/n))=$
$=\lim_{x\rightarrow\+infty} \exp (n(-2/n+o(1/n)))=\lim_{x\rightarrow\+infty} e^{-2+o(1)}= e^{-2}$che è $<1$.. quindi converge!

sì decisamente più veloce ..mi era sfouggito accidenti!

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[theras]

Ciao!
Beh,in senso lato non mi sembra tu abbia sbagliato:
certo è che ti sbrigavi prima,ricordando il corollario al teorema della radice,ad osservare che
$EElim_(n to oo)|a_n|^(1/n)=lim_(n to oo)((n^2+n-1)/(n^2+3n+5))^n=lim_(n to oo)e^(((n^2+n-1)/(n^2+3n+5)-1)n)=lim_(n to oo)e^((-2n^2-6n)/(n^2+3n+5))=e^(-2)<1$.
Saluti dal web.

[55sarah]

"theras":Ciao!
Beh,in senso lato non mi sembra tu abbia sbagliato:
certo è che ti sbrigavi prima,ricordando il corollario al teorema della radice,ad osservare che
$EElim_(n to oo)|a_n|^(1/n)=lim_(n to oo)((n^2+n-1)/(n^2+3n+5))^n=lim_(n to oo)e^(((n^2+n-1)/(n^2+3n+5)-1)n)=lim_(n to oo)e^((-2n^2-6n)/(n^2+3n+5))=e^(-2)<1$.
Saluti dal web.

ma quando si eleva a $e$, non ci vuole un logaritmo?.. ok il criterio della radice,

giusto con il criterio della radice, scritto non è così?

$root(n)(|a_n|)=((n^2+n-1)/(n^2+3n+5))^n=\lim_{x\rightarrow\+infty} \exp(n\ln(1-(2n+6)/(n^2+3n+5)))=\lim_{x\rightarrow\+infty} \exp (n \ln(1-2/n))=$
$=\lim_{x\rightarrow\+infty} \exp (n(-2/n+o(1/n)))=\lim_{x\rightarrow\+infty} e^{-2+o(1)}= e^{-2}$che è $<1$.. quindi converge!

sì decisamente più veloce ..mi era sfouggito accidenti!