Serie numerica.....dubbio
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(2n)!}[/tex]
E' a termini positivi e ho applicato il corollario al creiterio del rapporto, dopo aver fatto qualche spostamento:
[tex]\frac{(n+1)^{(n+1)}}{n^n}*\frac{(2n)!}{(2n)!(2n+2)(2n+1)}[/tex]
Ora io ho scritto:
[tex]\frac{(n+1)^{n}}{n^n}*\frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}[/tex]
Dovrei avere che la prima frazione tende a [tex]+\infty[/tex] Poichè avrei [tex]1^{+\infty}[/tex]
La seconda tende a [tex]\frac{1}{2}[/tex] Quindi la serie converge.
Anche se a questo punto mi chiedo una cosa.
Perchè se per le successioni dove abbiamo introdotto il limite notevole
[tex]\lim_{n\to \infty }a^n[/tex]
Che vale [tex]+\infty[/tex] se [tex]a>1[/tex] vale [tex]1[/tex] se [tex]-1
Perchè però a volte sento dire che [tex]1^{+\infty}[/tex] è una forma indeterminata?
Perchè c'è quel limite notevole se poi più avanti si dice che è una forma indeterminata?
E' a termini positivi e ho applicato il corollario al creiterio del rapporto, dopo aver fatto qualche spostamento:
[tex]\frac{(n+1)^{(n+1)}}{n^n}*\frac{(2n)!}{(2n)!(2n+2)(2n+1)}[/tex]
Ora io ho scritto:
[tex]\frac{(n+1)^{n}}{n^n}*\frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}[/tex]
Dovrei avere che la prima frazione tende a [tex]+\infty[/tex] Poichè avrei [tex]1^{+\infty}[/tex]
La seconda tende a [tex]\frac{1}{2}[/tex] Quindi la serie converge.
Anche se a questo punto mi chiedo una cosa.
Perchè se per le successioni dove abbiamo introdotto il limite notevole
[tex]\lim_{n\to \infty }a^n[/tex]
Che vale [tex]+\infty[/tex] se [tex]a>1[/tex] vale [tex]1[/tex] se [tex]-1
Perchè però a volte sento dire che [tex]1^{+\infty}[/tex] è una forma indeterminata?
Perchè c'è quel limite notevole se poi più avanti si dice che è una forma indeterminata?
Risposte
non capisco bene cosa dici, ma sappi che $1^(+infty)$ è una forma indeterminata, non è che lo senti dire, è così, basta pensare a $lim_(n to infty)(1+1/n)^n$
e quindi la tua soluzione dell'esercizio non va bene.
e quindi la tua soluzione dell'esercizio non va bene.
Si ma allora non so che pesci prendere.....
Per quanto riguarda l'altro dubbio...[tex]1^+\infty[/tex] è una forma indeterminata, ma perchè allora nelle successioni non lo è è sussiste quel limite notevole?
Come faccio a capire quando mi trovo davanti alla forma indeterminata e quando invece c'è quel limite notevole?
Per quanto riguarda l'altro dubbio...[tex]1^+\infty[/tex] è una forma indeterminata, ma perchè allora nelle successioni non lo è è sussiste quel limite notevole?
Come faccio a capire quando mi trovo davanti alla forma indeterminata e quando invece c'è quel limite notevole?
non so a cosa tu ti riferisca, se parli di $lim_(n to infty) a^n$ , non cosa c'entri con le successioni, comunque parliamone.
tra l'altro hai anche scritto sbagliato, quindi riprendo:
tu sai che $lim_(n to infty) a^n=$ :
$+infty$ se $a>1$
$0$ se $|a|<1$
$\nexists$ se $a<=-1$
e $lim_(n to infty) a^n=1$ se $a=1$
ma c'è comunque la forma indeterminata $1^(+infty)$, che in questo caso si risolve (molto semplicemente) trovando che il limite è proprio $1$.
forma indeterminata non vuol mica dire che il limite non esiste, ma che il limite non è immediato, bisogna fare qualcosa per poterlo calcolare.
semplicemente $1^(+infty)$ è una forma di indeterminazione perchè non ha un risultato univoco, dipende dai casi.
tra l'altro hai anche scritto sbagliato, quindi riprendo:
tu sai che $lim_(n to infty) a^n=$ :
$+infty$ se $a>1$
$0$ se $|a|<1$
$\nexists$ se $a<=-1$
e $lim_(n to infty) a^n=1$ se $a=1$
ma c'è comunque la forma indeterminata $1^(+infty)$, che in questo caso si risolve (molto semplicemente) trovando che il limite è proprio $1$.
forma indeterminata non vuol mica dire che il limite non esiste, ma che il limite non è immediato, bisogna fare qualcosa per poterlo calcolare.
semplicemente $1^(+infty)$ è una forma di indeterminazione perchè non ha un risultato univoco, dipende dai casi.
Ah....ok...e per quanto riguarda la serie???
Cosa c'è che non riesco a semplificare..cosa si potrebe fare?
Cosa c'è che non riesco a semplificare..cosa si potrebe fare?
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