Serie numerica sbaglio qualcosa?

[clacla87]

salve a tutti. Voi cosa ne dite è corretto il modo in cui lìho risolta?

$ sum_(n = 3)^(+oo) $ $(n^(3) - 2^(-n^2)) /n^4 $

allora io ho fatto cosi: poiche per n che tende a piu infinito $2^(-n^2) >= n^3 $ allora posso dire che
$ |n^(3)-2^(-n^2) | $< $|n^(3)+2^(-n^2)| $< $ 2*2^(-n^2) $
quindi $ sum_(n = 3)^(+oo) $ $ (2*2^(-n^2))/n^4$.
detto questo questa serie come posso risolverla con il metodo del rapporto?

[Gi81]

"clacla87":per n che tende a piu infinito $2^(-n^2) >= n^3 $

Falso. C'è il $-$ all'esponente
Per $n>=3$ hai $0<2^(-n^2)<=1$

[_prime_number]

E' il contrario, $n^3>2^{-n^2}$ (la prima va ad infinito, la seconda a 0), ma non ti è utile perché otterresti la serie armonica di ragione 1, che è divergente.

Paola

[clacla87]

e che criterio posso utilizzare

[Roxie1]

"clacla87":salve a tutti. Voi cosa ne dite è corretto il modo in cui lìho risolta?

$ sum_(n = 3)^(+oo) $ $(n^(3) - 2^(-n^2)) /n^4 $

allora io ho fatto cosi: poiche per n che tende a piu infinito $2^(-n^2) >= n^3 $ allora posso dire che
$ |n^(3)-2^(-n^2) | $< $|n^(3)+2^(-n^2)| $< $ 2*2^(-n^2) $
quindi $ sum_(n = 3)^(+oo) $ $ (2*2^(-n^2))/n^4$.
detto questo questa serie come posso risolverla con il metodo del rapporto?

La serie che tu hai scritto è uguale alla seguente:

\(\displaystyle \sum \) \(\displaystyle \frac{n^5 - 2}{n^6} \).

Se la confronti con la serie armonica ti accorgerai che diverge.

[clacla87]

nn capisco come hai fatto....

[Gi81]

Sì, Roxie, puoi spiegarti meglio?

@clacla87: la tua serie diverge perchè si comporta come $1/n$. Puoi dimostrarlo in due modi:
1) $n^3 -2^(-n^2) sim n^3$ dunque ...
2) $sum_(n=3)^(+oo) (n^3-2^(-n^2))/n^4 = sum_(n=3)^(+oo) n^3/n^4 - sum_(n=3)^(+oo) 2^(-n^2) /n^4$ e poichè $0<2^(-n^2)<=1$...

[clacla87]

@Gi8 quindi poiche $ 1/n $ diverge , allora anche la mia serie di partenza diverge?

[Gi81]

Esatto

[clacla87]

capito...grazie mille

[Paolo902]

@ Roxie: $2^{-n^2}$ non è $2/n^2$...