Serie numerica "difficile"

[andreaciceri96]

Ciao a tutti,

Stabilire il carattere di $\sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{1+|\sin(n)|}}$

Ho trovato questo esercizio di analisi 1 sul sito di un mio docente tra quelli classificati "difficili", per curiosita' ho tentato di risolverlo invano e devo dire che proprio non mi va giu' il non riuscire a determinare il comportamento di questa serie apparentemente innocua.
A prima vista ho puntato sulla convergenza ma poi tenando di maggiorarla mi sono resto conto che le cose non sono cosi' semplici. Ho tentanto ogni criterio di convergenza per serie che conosco e tutti hanno fallito. Ho anche cercato di dimostrare o negare la condizione di Cauchy ma mi sono reso conto che per farlo devo sempre passare da qualche maggiorazione/minorazione che pero' non e' abbastanza fine da darmi le informazioni che occorrono.
Visto che e' un esercizio per matricole al primo semestre non credo necessiti di nessuno strumento sofisticato (avevo pensato di passare in qualche modo ad un integrale di Lebesgue e ragionare sugli insieme di misura nulla, comunque alla fine non ho nemmeno tentato).
So che ${\sin(1/n)}_{n=1)^{+\infty}$ e' denso in $(0,1)$ ma ovviamente non riesco a trovare una permutazione di tale successione che sia monotona. Posso considerare pero' delle sottosuccessioni che sono limitate, ma anche tale strada non mi ha portato da nessuna parte.

Qualcuno ha idea di come fare? Anche solo dei suggerimenti e/o idee sono bene accetti.

Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao zariski,

Forse la sto facendo troppo semplice, ma la serie proposta converge per confronto con la serie armonica generalizzata se

$ 1 + |sin(n)| > 1 \iff |sin(n)| > 0 $

il che accade sempre perché gli unici valori "critici" che annullerebbero la funzione seno non sono certo interi ma reali...

[otta96]

"pilloeffe":Forse la sto facendo troppo semplice

Eh si….
Questo perché per applicare il criterio come dici te bisognerebbe che $|sen(n)|$ sia uniformemente positivo, cioè $\text{limsup}_{n->+\infty}|sen(n)|>0$, noi sappiamo solo che è $>=0$ (in effetti si può vedere che è proprio $0$), se questo argomento non ti convince molto pensa alla serie $\sum_{n=0}^(+\infty)1/(n^(1+1/n))$, che è divergente, ma col ragionamento che hai applicato prima si avrebbe $1/n>0$, quindi la serie è convergente.
Ad ogni modo, ci stavo pensando anche io a quella serie, ma non mi sembra fattibile con gli strumenti che uno ha a disposizione ad analisi 1 (a meno di essere un genio e tirare fuori qualcosa di assurdo), a me era venuto in mente lo sviluppo in frazione continua di $pi$, perché sostanzialmente bisogna capire per gli $n$ che approssimano bene un multiplo di $pi$ se sono "abbastanza pochi" da far convergere la serie, e di concetti collegati a approssimare numeri irrazionali il meglio possibile con frazioni "piccole" mi è venuto in mente le frazioni continue, ma non sapendo io molto su questo argomento non sono riuscito a cavarci niente.
Comunque secondo me la serie converge, ho provato a confrontarla con $1/(nln^2n)$, ma come già detto non ho concluso nulla.

[Sk_Anonymous]

[Cazzata]

Comunque bel problema, meriterebbe di stare in "Pensare un po' di più".

[otta96]

Scusa ma quel liminf non è banalmente $0$?

[Sk_Anonymous]

Ah sì, ho scritto una cazzata.

[Sk_Anonymous]

Comunque è roba da specialisti

[pilloeffe]

Decisamente l'ho fatta troppo semplice...
Comunque concordo con otta96, non mi pare un esercizio da Analisi I...

[andreaciceri96]

Vedo che questo esercizio ha riscontrato molto successo, non me l'aspettavo.

"Delirium":Comunque bel problema, meriterebbe di stare in "Pensare un po' di più".

Ero tentato di metterlo li' ma mi era venuta paura che in realta' fosse molto piu' semplice di come mi sembrava.
C'e' modo di spostare? Magari se passa qualche moderatore/admin puo' farlo, o dirmi se devo ricreare il topic.

"Delirium":Comunque è roba da specialisti

Ora non ho le forze di leggerlo e credo che comunque non ci capirei molto, pero' vi giuro che e' un esercizio di analisi 1, in particolare e' uno dei piu' tosti tra quelli difficili.
Il professore e' famoso per i questi esercizi quanto belli quanto difficili e vi assicuro che hanno sempre delle soluzioni molto piu' semplici di quello che uno e' portato a pensare all'inizio, insomma credo che esista una soluzione abbordabilissima (come strumenti, non come facilita' di concezione) per delle matricole.

Se a nessuno viene in mente in qualcosa "da analisi 1" mando una mail al professore, perche' a questo punto sono davvero curioso.

[Sk_Anonymous]

"zariski":[...] Il professore e' famoso per i questi esercizi quanto belli quanto difficili e vi assicuro che hanno sempre delle soluzioni molto piu' semplici di quello che uno e' portato a pensare all'inizio, insomma credo che esista una soluzione abbordabilissima (come strumenti, non come facilita' di concezione) per delle matricole.

Se a nessuno viene in mente in qualcosa "da analisi 1" mando una mail al professore, perche' a questo punto sono davvero curioso.

In realtà la dimostrazione di mse è elementare, ma estremamente tecnica. Sembra scritta da qualcuno con esperienza in quei settori lì (teoria analitica dei numeri e dintorni). Del resto, le prime tre righe del post in alto sono "illuminanti":

"Community wiki of mse":This is problem 11162, posed by Paolo Perfetti[nota]Che immagino sia il tuo professore[/nota], in the June-July 2005 issue of the American Mathematical Monthly. The solution below, due to the Microsoft Research Problems Group, is found in the February 2007 issue of the same magazine.

[andreaciceri96]

"Delirium":
In realtà la dimostrazione di mse è elementare, ma estremamente tecnica. Sembra scritta da qualcuno con esperienza in quei settori lì (teoria analitica dei numeri e dintorni).

Alla fine l'ho letta, per quanto non chiarissima non mi sembra ci sia nessuno strumento avanzato che uno studente di analisi 1 non dovrebbe conoscere, e' solo appunto come dici tu molto tecnica. Non vedo come ad una matricola possa venire in mente.
Anche per questo ho deciso di riprovare a risolverlo continuando da una strada che avevo abbandonato ieri leggendo la risposta di otta96:

So che ${|\sin(n)|}_{n \in NN}$ e' denso in $(0, 1)$, considero allora una successione crescente ${a_n}_{n \in NN} \sub NN$ tale che $|\sin(a_n)| \to 0$, e questo credo di poterlo tranquillamente fare (grazie a Bolzano-Weierstrass). Vale la seguente diseguaglianza:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+|\sin(n)|}} \ge \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(a_n)^{1+|\sin(a_n)|}}$$
La serie a destra ora ha come termine generale qualcosa che ha lo stesso ordine di grandezza (a ripensarci ora non ne sono piu' tanto convinto, ma oggi pomeriggio ne ero abbastanza sicuro) di $1/a_n$ (con "stesso ordine di grandezza" intendo asintotico a meno di costanti).
Dunque se la successione ${a_n$} che costruisco e' tale che ${\sin(a_n)}$ ha lo stesso ordine di grandezza di ${1/n}$ allora concludo per il criterio del confronto.
Ora, assumendo che il ragionamento fili (a ripensarci ora non ne sono per niente sicuro), secondo voi esiste una tale successione? Come si potrebbe costruire?

"Delirium":Che immagino sia il tuo professore

In realta' non e' lui.

"Delirium":Del resto, le prime tre righe del post in alto sono "illuminanti":

Ti riferisci al posto di otta96 o a qualcosa sul stackexchange?

[Sk_Anonymous]

"zariski":[...] Ti riferisci al posto di otta96 o a qualcosa sul stackexchange?

A quelle che ho citato.

Il problema e', appunto, che non sappiamo nulla della "dinamica" di \( |\sin (n) | \) o di quella di \( |\sin(a_n) |\) (e' la parte non banale del problema)...

[andreaciceri96]

Stavo rileggendo il mio ultimo messaggio dopo giorni che non pensavo piu' al problema; ma $a_n=2n\pi + 1/n$ non funziona nel mio ragionamento del post precedente?
Sono sicuro di stare sbagliando qualcosa.

[otta96]

Secondo te $2pin+1/n\inNN$?

[andreaciceri96]

Ok, cavolata immensa
Ho scritto di fretta un secondo prima di uscire di casa pensando di avere avuto l'illuminazione...

Comunque vista la mancanza di soluzioni semplici o di spiegazioni sul perche' tali soluzioni non possano esistere scriverei al docente, anche se a sto punto temo possa essere o un suo errore o un gigantesco troll.

[Sk_Anonymous]

"zariski":[...] Comunque vista la mancanza di soluzioni semplici o di spiegazioni sul perche' tali soluzioni non possano esistere scriverei al docente, anche se a sto punto temo possa essere o un suo errore o un gigantesco troll.

Scrivigli, sono curioso. In realtà potrebbero essere false entrambe le tue ipotesi; problemi difficili e/o senza soluzione stimolano comunque il pensiero dei più curiosi, a qualsiasi "livello didattico". Ricordo ancora quando, al primo semestre del primo anno, ci venne chiesto di dimostrare la compattezza del cubo di Hilbert...

[andreaciceri96]

Interessante questo cubo di Hilbert, in effetti non e' un problema banale senza gli strumenti adeguati.

Comunque ho chiesto e ho ottenuto una dimostrazione, non l'ho guardata troppo a causa di un esame imminente ma gia' non mi tornano alcune cose (tipo la prima diseguaglianza). Vi riporto la dimostrazione:

Prop. La serie $\sum \frac{1}{n^{1+ |\sin(n)|}}$ diverge
Dim. Chiamiamo $$A_n = \frac{1}{n^{1+ |\sin(n)|}}$$
Sia $\epsilon \gt 0$ fissato (piccolo), per ogni $n$ vale (per il principio della piccionaia) $$|q_n 2 \pi - (n + k_n)| \lt \epsilon$$
dove $q_n$ e' intero e $k_n$ soddisfa $$k_n \le [2 \pi / \epsilon] + 1 =: M$$
Dunque, per ogni $n$ fissato vale $$|\sin(n + k_n)| \le \epsilon$$
che implica $$A_{n+k_n} \ge \frac{1}{(n+k_n)^{1+\epsilon}} \ge \frac{1}{(n+M)^{1+\epsilon}}$$
Sia ora $$S_M = \sum_{n=M}^{\infty}A_n$$
Notiamo che per ogni intero $j \ge 1$ $$\sum_{n=jM}^{(j+1)M} A_n \ge A_{jM+k_{jM}} \ge \frac{1}{M^{1+\epsilon}(j+1)^{1+\epsilon}}$$
Dunque $$S_M \ge \frac{1}{M^{1+\epsilon}} \sum_{j=2}^{\infty}\frac{1}{j^{1+\epsilon}} \ge \frac{1}{M^{1+\epsilon}\epsilon 2^{\epsilon}} \to \frac{1}{2 \pi}$$
quando $\epsilon \to 0$ (ovvero $M \to \infty$).
Quindi $S_M$ non tende a $0$ per $M \to \infty$, il che implica la divergenza della serie.

Che dire? Non mi sembra particolarmente semplice e onestamente credo mi ci vorrebbe un bel po' tempo (che non ho) per capire bene i vari passaggi.
Inoltre non sono nemmeno sicuro di capire bene cosa c'e' scritto, per esempio dove c'e' scritta la diseguaglianza che deve rispettare $k_n$ credo che con quelle parentesi quadre intenda la parte intera, ma non ne sono sicurissimo.