Serie Numerica Esame
Ciao Ragazzi. Ho fatto l'esame di analisi 1 e c'èera questa serie numerica $ sum_(n = 1)^(+oo)ln(1+n^2)arctg(1/(n^2e^n)) $
Io ho fatto così. Il logaritmo è senz'altro positivo in questo intervallo e l'arcotangente pure perchè va da $1/e^2$ a $+oo$. Applico l'equivalenza asintotica e ottengo $ln(1+n^2)arctg(1/(n^2e^n))$ equivale a $ (ln(n^2))1/(n^2e^n)$ da quì facendo un po di semplificazini otteniamo $(2lnn)/(n^2nlne)$ utilizzando il fatto che $e^n=nlne$ e cioè otteniamo $(2lnn)/(n^3)$ poichè per n tendente a infinito questo rapporto fa 0, per via del logaritmo che è sempre ordine di infinito minore rispetto alla potenza, la serie converge.
Io ho fatto così. Il logaritmo è senz'altro positivo in questo intervallo e l'arcotangente pure perchè va da $1/e^2$ a $+oo$. Applico l'equivalenza asintotica e ottengo $ln(1+n^2)arctg(1/(n^2e^n))$ equivale a $ (ln(n^2))1/(n^2e^n)$ da quì facendo un po di semplificazini otteniamo $(2lnn)/(n^2nlne)$ utilizzando il fatto che $e^n=nlne$ e cioè otteniamo $(2lnn)/(n^3)$ poichè per n tendente a infinito questo rapporto fa 0, per via del logaritmo che è sempre ordine di infinito minore rispetto alla potenza, la serie converge.
Risposte
$e^n = n ln e$
E questo da dove salta fuori? Non credo che è possibile tramutare un'esponenziale in un fattore lineare, perlomeno, hanno comportamenti all'infinito totalmente diversi!
E questo da dove salta fuori? Non credo che è possibile tramutare un'esponenziale in un fattore lineare, perlomeno, hanno comportamenti all'infinito totalmente diversi!
Su un sacco di esercizi che ho fatto sui limiti loro tramutano funz. del tipo $pi^x$ o $5^x$ in $xlnpi$ e così via. Non saprei.
Probabilmente quello che hai visto è:
$a^b = e^(b \cdot ln a ) $
Che in effetti ha senso... ma se non porti quella cosa all'esponente, allora stai errando. In quel caso ti resta:
$\frac {2ln n} { n^2 \cdot e^n} $ Puoi applicare il criterio del rapporto e ti viene $ lim_{x->oo} \frac { 2 ln(n+1) } { (n+1)^2 \cdot e^(n+1) } \cdot \frac { n^2 \cdot e^n } { 2 ln n } = lim_{x->oo} \frac { 2 ln ( n+1) } { 2 ln n } \cdot \frac { n^2 } {(n+1)^2} \cdot \frac { e^n } { e^n } \cdot 1/e = 1/e < 1 $
Quindi comunque avresti una serie convergente... Spera che il professore guardi solo al risultato!
$a^b = e^(b \cdot ln a ) $
Che in effetti ha senso... ma se non porti quella cosa all'esponente, allora stai errando. In quel caso ti resta:
$\frac {2ln n} { n^2 \cdot e^n} $ Puoi applicare il criterio del rapporto e ti viene $ lim_{x->oo} \frac { 2 ln(n+1) } { (n+1)^2 \cdot e^(n+1) } \cdot \frac { n^2 \cdot e^n } { 2 ln n } = lim_{x->oo} \frac { 2 ln ( n+1) } { 2 ln n } \cdot \frac { n^2 } {(n+1)^2} \cdot \frac { e^n } { e^n } \cdot 1/e = 1/e < 1 $
Quindi comunque avresti una serie convergente... Spera che il professore guardi solo al risultato!
"AlexlovesUSA":
[...] equivale a $ (ln(n^2))1/(n^2e^n)$
Ok fino a qui, dove con "equivale" suppongo intendi abbia lo stesso carattere. Da qui, a parte l'uguaglianza falsa che già ti hanno fatto notare, non ti bastava comunque dire che il limite tende a $0$ per dire che la serie convergeva, $\sum1/n$ è il controesempio classico.
Per andare avanti, dal punto citato bastava dire che $\sum(ln(n^2))1/(n^2e^n) \leq \sum(n^2)1/(n^2e^n) = \sum1/(e^n)$ che ovviamente converge (serie geometrica) quindi converge anche la serie di partenza.
Ok ragazzi siete stati molto utili grazie. Coumunque ho superato l'esame con 20 e domani l'orale quindi ne terrò conto di questa cosa. Io avevo pure applicato il criterio del rapporto ma dopo avere fatto quella equivalenza sbagliata XD comunuqe mi convergeva lo stesso. XD
Per quanto rigurada quelle uguaglianze che ho scritto valgono invece per $x->0$? Quella equivalenza che ha scritto pater46 la conoscevo ma mi era sembrato + facile applicare l'altra che invece è sbagliata.
Un'altra cosa. Quando ho questa funzione $arctg(1/(1-x^2))$ per trovare il dominio devo risolvere questo vero? $-pi/2<1/(1-x^2)
e domani l'orale quindi ne terrò conto di questa cosa. Io avevo pure applicato il criterio del rapporto ma dopo avere fatto quella equivalenza sbagliata XD comunuqe mi convergeva lo stesso. XD Per quanto rigurada quelle uguaglianze che ho scritto valgono invece per $x->0$? Quella equivalenza che ha scritto pater46 la conoscevo ma mi era sembrato + facile applicare l'altra che invece è sbagliata.
Un'altra cosa. Quando ho questa funzione $arctg(1/(1-x^2))$ per trovare il dominio devo risolvere questo vero? $-pi/2<1/(1-x^2)
Ah ragazzi dimenticavo una cosa. Per quanto riguarda il discorso dell'arcotangente, in parole povere l'esercizio diceva questo: Trova $ainRR$ tale che la funzione nel punto $x=0$ abbia un minimo relativo e poi fai un disegnino. La funzone rale è questa $arctan(a/(1-x^2))$. Io ho subito trovato la derivata prima che mi è venuta $(1/(1-(a/(1-x^2)))((2ax)/((1-x^2))^2)$ e dopo avere semplificato ho sostituito 0 a x ottenendo $f'(0)=0$. Poichè è 0 allora significa che è un punto critico ovvero o un max o un minimo o un flesso . A questo punto però non so come determinare a. Può essere che è per ogni $ainRR$?
Io avevo pensato di calcolare $f'(x)>0$ e ottengo qualcosa ma non so se è giusta perchè nella disequazione devo considerare sia il parametro a che la variabile x.
Io avevo pensato di calcolare $f'(x)>0$ e ottengo qualcosa ma non so se è giusta perchè nella disequazione devo considerare sia il parametro a che la variabile x.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo