Serie numerica e criterio della radice

[pleyone-votailprof]

Enunciare e dimostrare il criterio della radice per le serie numeriche. Utilizzandolo studiare il carattere della serie $ sum_( = <1>)^( = <∞>) x^(2n)/3^n $

salve forum!,questa è una domanda di un compito di analisi 1,ma dopo che enuncio il criterio come dimostrazione cosa scrivo?perchè nel mio libro non c'è niente che riguardi la dimostrazione ma solo esercizi presi come esempio.Poi ho un altro problema quando vado a studiare il carattere della serie faccio $ lim_( -> <∞>) root()(( x^(2n)/3^n)) $ e di conseguenza sparisce n con la semplificazione,ma se sparisce n come faccio a risolvere il limite????

grazie in anticipo a chi mi darà una mano

[regim]

Se sparisce $n$ la successione è costante, e quindi il limite quanto vale?
Nel caso proposto il limite sarebbe $x^2/3$, e il criterio della radice ti dice che, se questo limite è minore di $1$ la serie converge assolutamente, e quindi converge.
Per quali valori il limite sarà perciò minore di $1$?
Per la dimostrazione del teorema, anche wikipedia immagino la riporti, e sarebbe inutile riscriverla qui. Per capirla nessuno meglio di te può farlo.

[pleyone-votailprof]

ok capito!!!grazie

[indovina]

Scusate la mia 'intrusione'.
E' percaso una ragione del tipo $|x^2/3|<1$ ovvero $-sqrt(3)

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[regim]

Il modulo qui è eccessivo, ma in generale la risposta è si, ad esempio, se la serie è di numeri complessi, cioè al posto di $x$ poni $z$, allora hai una regione di convergenza piuttosto che un segmento.
Cioè il criterio della radice è un criterio di convergenza assoluta, quindi stabilisce sempre la convergenza di una serie che è anche assolutamente convergente, quindi utilizza la serie dei valori assoluti, da qui il modulo.
Inoltre ha una applicabilità superiore a quella del rapporto o di altri criteri, perchè è sempre utilizzabile, tranne i 'soli' casi casi in cui hai la convergenza, ma non la assoluta convergenza, in questi casi il criterio non potrà che fornire com limite superiore il valore $1$, in generale, ad esempio, nel caso di serie di numeri complessi, il criterio della radice non ti dice nulla circa la eventuale convergenza della serie nella circonferenza del cerchio di convergenza.
Non è un criterio molto fine per stabilire la non convergenza, perchè lo fa solo in quanto ti garantisce che la succesione dei valori assoluti dei termini della serie non tende a zero.