Serie numerica consigli
Salve ho il seguente esercizio :
Trovare i valori di alpha appartenente a R per cui converge la serie numerica :
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)^a}{(2n)!} a^{3n}[/tex]
Come posso risolverlo? ho provato col criterio del rapporto ma non riesco .
Trovare i valori di alpha appartenente a R per cui converge la serie numerica :
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)^a}{(2n)!} a^{3n}[/tex]
Come posso risolverlo? ho provato col criterio del rapporto ma non riesco .
Risposte
Il criterio del rapporto mi sembra la soluzione ottimale, almeno per gli $\alpha>0$. Come hai proceduto?
ho provato col criterio del rapporto ma arrivo fino a qui : [tex]lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(2n+3)^a)}{(2n+2)(2n+1)^{a+1}}[/tex] a questo punto non so continuare
qui il criterio del rapporto è ottimale ma devi modificare innanzitutto la serie ovvero non puoi fare cosi il rapporto anche perche hai $(2n+1)^a$ e a è si un parametro per te ma lo devi considerare come una funzione (almeno a mio avviso)
cmq qui ho descritto come definire il dominio di una serie di funzioni(definizione il dominio di una serie significa per quali valori di x incognita la serie converge se non lo sapessi lo scrivo per sicurezza).http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=118629&p=774683#p774683
cmq qui ho descritto come definire il dominio di una serie di funzioni(definizione il dominio di una serie significa per quali valori di x incognita la serie converge se non lo sapessi lo scrivo per sicurezza).http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=118629&p=774683#p774683
ma quindi dovrei porre x=a? perchè nelle prove d'esame non mettono serie di funzioni cioè non è nel programma
Ma perché volete complicare il mondo? Se chiamiamo $a_n=\frac{(2n+1)^a}{(2n)!} a^{3n}$ risulta
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(2n+3)^a}{(2n+2)!} a^{3n+3}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+1)^a a^{3n}}=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^a\cdot\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}\cdot a^3=0$$
a prescindere dal valore di $a$.
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(2n+3)^a}{(2n+2)!} a^{3n+3}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+1)^a a^{3n}}=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^a\cdot\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}\cdot a^3=0$$
a prescindere dal valore di $a$.
quindi è convergente a prescindere dal valore di a , grazie!
Scusami ciampax ma io avrei seguito quel metodo a te risulta che sarebbe venuto un risultato diverso
blake, ti assicuro che si fa come ho fatto io. E ti assicuro che converge.... visto che l'avevo messa in un esame 2 anni fa questa serie! 
allora mi fido dovessi essere io la capra ignorane
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