Serie numerica con troppi logaritmi

[rasakkandar]

Ciao, ho bisogno di una mano con questo esercizio:

Studiare la convergenza della serie \[\sum_{n=2}^{\infty} \displaystyle\frac{\log^2(1+\frac{1}{n^{\alpha}})}{\log n\log^2\log n}\] in dipendenza dal parametro \(\alpha\in\mathbb{R}\)

Supponendo \(\alpha \in (0, +\infty)\), il numeratore è asintotico a \(\displaystyle\frac{1}{n^\alpha}\). Per il criterio di condensazione la serie si comporta come \[2^na_n=\displaystyle\frac{2^n}{2^{2\alpha n}n\log 2\log^2(n\log 2)}\] Applicando il criterio del rapporto si ha \[\lim_{n\rightarrow \infty} \left | \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n} \right | = \displaystyle\frac{1}{\alpha}=l\] e dunque si ha convergenza per \(\alpha>1\).

Spero che fino a qui sia corretto; in ogni caso, sono incerto su come proseguire per studiare \(\alpha<0\).

[Luca.Lussardi]

Mi sa che per $-\beta:=\alpha<0$ sopra hai qualcosa asintotico a $\log^2(n^\beta)$, qualcosa dovrebbe semplificarsi...

[rasakkandar]

Grazie per la risposta; comunque, credo di aver risolto: il numeratore è asintotico a \(\beta^2 \log^2 n\) con $-beta:=alpha$, e applicando nuovamente la combo condensazione + rapporto concludo che la serie diverge $forall beta$. Un approccio calcoloso, ma funziona.

Tra l'altro, è il primo esercizio in cui abbia mai usato il criterio di condensazione; sono stato ispirato dal tuo recente post in un altro topic: ho scoperto che funziona a meraviglia con i logaritmi. Dunque, ti ringrazio doppiamente