Serie numerica con tangente
salve,
potreste aiutarmi a studiare il carattere della seguente serie numerica
$ sum(1-nxx tan(1\\ n)) $
grazie mille!!!
potreste aiutarmi a studiare il carattere della seguente serie numerica
$ sum(1-nxx tan(1\\ n)) $
grazie mille!!!
Risposte
Idee tue?
ho verificato la condizione necessaria ma non sufficiente di convergenza
lim_(n-> oo ) (1-tan (1/n)/(1/n)) = 1-1 = 0
quindi converge
lim_(n-> oo ) (1-tan (1/n)/(1/n)) = 1-1 = 0
quindi converge
Ciao deb89,
Benvenuta sul forum!
Intanto riscrivo la serie che hai proposto un po' meglio:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} [1 - n tan(1/n)] = sum_{n = 1}^{+\infty} [1 - frac{tan(1/n)}{1/n}] = - sum_{n = 1}^{+\infty} [frac{tan(1/n)}{1/n} - 1] $
No, se $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ la serie può convergere, ma non è detto che lo faccia. Come fai a dimostrare che in effetti converge?
Benvenuta sul forum!
Intanto riscrivo la serie che hai proposto un po' meglio:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} [1 - n tan(1/n)] = sum_{n = 1}^{+\infty} [1 - frac{tan(1/n)}{1/n}] = - sum_{n = 1}^{+\infty} [frac{tan(1/n)}{1/n} - 1] $
No, se $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ la serie può convergere, ma non è detto che lo faccia. Come fai a dimostrare che in effetti converge?
applicando il criterio del confronto asintotico con la serie armonica 1/n
e deducendo che le due serie hanno stessa carattere, quindi diverge positivamente?!
e deducendo che le due serie hanno stessa carattere, quindi diverge positivamente?!
Ma se ti ho scritto che converge, fidati no? 
Suggerimento: sviluppo di $ tan(1/n) $
Suggerimento: sviluppo di $ tan(1/n) $
allora con sviluppo di taylor:
$ (1/n +(1/n)^3/3+ 2/15(1/n)^5+o (1/n)^6 )/(1/n)-1 $
$ (1 +(1/n)^2/3+ 2/15(1/n)^4+o (1/n)^5 )-1 $
$ (1/n)^2/3+ 2/15(1/n)^4+o (1/n)^5 $
$ 1/nxx ((1/n)/3+ 2/15(1/n)^3+o (1/n)^4 ) $
$ ((1/n)/3+ 2/15(1/n)^3+o (1/n)^4 )/n $
passo al limite
$ lim_(n -> oo ) ((1/n)/3+ 2/15(1/n)^3+o (1/n)^4 )/n = 0 $
converge
$ (1/n +(1/n)^3/3+ 2/15(1/n)^5+o (1/n)^6 )/(1/n)-1 $
$ (1 +(1/n)^2/3+ 2/15(1/n)^4+o (1/n)^5 )-1 $
$ (1/n)^2/3+ 2/15(1/n)^4+o (1/n)^5 $
$ 1/nxx ((1/n)/3+ 2/15(1/n)^3+o (1/n)^4 ) $
$ ((1/n)/3+ 2/15(1/n)^3+o (1/n)^4 )/n $
passo al limite
$ lim_(n -> oo ) ((1/n)/3+ 2/15(1/n)^3+o (1/n)^4 )/n = 0 $
converge
"deb89":
ho verificato la condizione necessaria ma non sufficiente di convergenza
lim_(n-> oo ) (1-tan (1/n)/(1/n)) = 1-1 = 0
quindi converge
Mi sa che non hai proprio ben chiaro il significato di “condizione necessaria ma non sufficiente alla convergenza”...
e su questo ci sono arrivata! ho capito l'errore alquanto superficiale che facevo considerando una condizione necessaria come definitiva! ok ok!!
Molto, ma molto più semplicemente, considerando i primi due termini dello sviluppo in serie di $tan(1/n) $ si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} [1 - n tan(1/n)] = - sum_{n = 1}^{+\infty} [frac{tan(1/n)}{1/n} - 1] $ [tex]\sim[/tex] $ - 1/3 sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 $
e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 $, notoriamente convergente.
$ sum_{n = 1}^{+\infty} [1 - n tan(1/n)] = - sum_{n = 1}^{+\infty} [frac{tan(1/n)}{1/n} - 1] $ [tex]\sim[/tex] $ - 1/3 sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 $
e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 $, notoriamente convergente.
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