Serie numerica con seno e parametro
Ciao a tutti 
Avrei bisogno di una mano nella risoluzione di questo esercizio, di cui purtroppo non possiedo svolgimento o soluzione.
-
Data la serie numerica
$ sum_(k = 1)^oo (a^k sin(1/k))/(2+k) $
1) Verificare che la serie è a termini non negativi per ogni valore di $ a>= 0 $
2) Determinare il comportamento della serie al variare di $a$ in $ [0, +oo ) $
-
Per quanto riguarda il punto 1), ovvero dimostrare che la serie è a termini non negativi,
se $a = 0$ è chiaro che la serie valga $ 0 $;
se $a > 0$
$a^k$ è positivo per ogni $k >= 1$, e lo stesso vale per $2 + k$.
Ora, correggetemi se sbaglio, ma per $k >=1$, $sin(1/k)$ è compreso tra $0$ e $pi/2$ ed è pertanto positivo, no?
Per quanto riguarda il punto 2), ovvero studiare il comportamento della serie al variare di $a$, ho delle difficoltà in più.
- caso $a = 0$: la serie converge a $0$;
- caso $a = 1$: la serie converge, perché (e correggetemi se il mio ragionamento è sbagliato)
$(1^k sin(1/k))/(2+k) = (sin(1/k))/(2+k) ~ (k->oo )(1/k)/(2+k)=$
$= 1/(k^2+2k) ~ 1/k^2$ che converge in quanto serie armonica di esponente $2$
Non so, invece, come precedere nei restanti casi: $0 < a < 1$ e $a > 1$. Potreste darmi qualche dritta? Grazie infinite!
Avrei bisogno di una mano nella risoluzione di questo esercizio, di cui purtroppo non possiedo svolgimento o soluzione.-
Data la serie numerica
$ sum_(k = 1)^oo (a^k sin(1/k))/(2+k) $
1) Verificare che la serie è a termini non negativi per ogni valore di $ a>= 0 $
2) Determinare il comportamento della serie al variare di $a$ in $ [0, +oo ) $
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Per quanto riguarda il punto 1), ovvero dimostrare che la serie è a termini non negativi,
se $a = 0$ è chiaro che la serie valga $ 0 $;
se $a > 0$
$a^k$ è positivo per ogni $k >= 1$, e lo stesso vale per $2 + k$.
Ora, correggetemi se sbaglio, ma per $k >=1$, $sin(1/k)$ è compreso tra $0$ e $pi/2$ ed è pertanto positivo, no?
Per quanto riguarda il punto 2), ovvero studiare il comportamento della serie al variare di $a$, ho delle difficoltà in più.
- caso $a = 0$: la serie converge a $0$;
- caso $a = 1$: la serie converge, perché (e correggetemi se il mio ragionamento è sbagliato)
$(1^k sin(1/k))/(2+k) = (sin(1/k))/(2+k) ~ (k->oo )(1/k)/(2+k)=$
$= 1/(k^2+2k) ~ 1/k^2$ che converge in quanto serie armonica di esponente $2$
Non so, invece, come precedere nei restanti casi: $0 < a < 1$ e $a > 1$. Potreste darmi qualche dritta? Grazie infinite!
Risposte
Ciao gehennafire,
Benvenuto/a sul forum!
Sì, pertanto la serie proposta è a termini positivi, dato che l'unico fattore sul quale si potevano avere dei dubbi è proprio $sin(1/k) $
Ciò detto, proverei innanzitutto a vedere per quali valori di $a $ è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy:
$ lim_{k \to +\infty} c_k = lim_{k \to +\infty} (a^k sin(1/k))/(2+k) = lim_{k \to +\infty} a^k frac{sin(1/k)}{1/k}\cdot frac{1/k}{2+k} = lim_{k \to +\infty} frac{sin(1/k)}{1/k}\cdot frac{a^k}{k^2 + 2k} $
Il risultato dell'ultimo limite scritto è $0 $ solo se $|a| \le 1 $ e, dato che $a \in [0, +\infty) $, ne consegue che la serie proposta può convergere solo se $ 0 \le a \le 1 $
Per $a > 1 $ la serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy e pertanto non può convergere, ed essendo a termini positivi necessariamente è positivamente divergente.
Benvenuto/a sul forum!
"gehennafire":
per $ k \ge 1 $, $sin(1/k) $ è compreso tra $0 $ e $pi/2 $ ed è pertanto positivo, no?
Sì, pertanto la serie proposta è a termini positivi, dato che l'unico fattore sul quale si potevano avere dei dubbi è proprio $sin(1/k) $
Ciò detto, proverei innanzitutto a vedere per quali valori di $a $ è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy:
$ lim_{k \to +\infty} c_k = lim_{k \to +\infty} (a^k sin(1/k))/(2+k) = lim_{k \to +\infty} a^k frac{sin(1/k)}{1/k}\cdot frac{1/k}{2+k} = lim_{k \to +\infty} frac{sin(1/k)}{1/k}\cdot frac{a^k}{k^2 + 2k} $
Il risultato dell'ultimo limite scritto è $0 $ solo se $|a| \le 1 $ e, dato che $a \in [0, +\infty) $, ne consegue che la serie proposta può convergere solo se $ 0 \le a \le 1 $
Per $a > 1 $ la serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy e pertanto non può convergere, ed essendo a termini positivi necessariamente è positivamente divergente.
Ciao pilloeffe e grazie, sia per il benvenuto che per la risposta tempestiva!
Con la condizione necessaria, tuttavia, non ho dimostrato la convergenza in quell'intervallo ma solo che può convergere, giusto?
Escludendo i casi $a = 1$ e $a = 0$ già verificati, devo dimostrare in maniera rigorosa la convergenza su $0 < a < 1$, e ho pensato di applicare il Criterio della Radice. È giusto questo procedimento?
$lim_(k -> oo ) root(k)((a^k sin(1/k) / (2+k)) = lim_(k -> oo ) a (root(k)(sin(1/k))/root(k)(2+k)) ~ $
$~ (k->oo)lim_(k->oo)a (root(k)(sin(1/k))/root(k)(k)) = lim_(k->oo) (a*0)/1 = 0 < 1$
e quindi converge.
Di nuovo, grazie
"pilloeffe":
la serie proposta può convergere solo se $0 \le a < 1 $. Dato poi che hai già visto che la serie proposta converge per $a = 1 $, ne consegue che in definitiva la serie proposta converge per $ 0 \le a \le 1 $
Con la condizione necessaria, tuttavia, non ho dimostrato la convergenza in quell'intervallo ma solo che può convergere, giusto?
Escludendo i casi $a = 1$ e $a = 0$ già verificati, devo dimostrare in maniera rigorosa la convergenza su $0 < a < 1$, e ho pensato di applicare il Criterio della Radice. È giusto questo procedimento?
$lim_(k -> oo ) root(k)((a^k sin(1/k) / (2+k)) = lim_(k -> oo ) a (root(k)(sin(1/k))/root(k)(2+k)) ~ $
$~ (k->oo)lim_(k->oo)a (root(k)(sin(1/k))/root(k)(k)) = lim_(k->oo) (a*0)/1 = 0 < 1$
e quindi converge.
Di nuovo, grazie
"gehennafire":
Ciao pilloeffe e grazie, sia per il benvenuto che per la risposta tempestiva!
Prego!
"gehennafire":
Con la condizione necessaria, tuttavia, non ho dimostrato la convergenza in quell'intervallo ma solo che può convergere, giusto?
Giusto, ma nell'intervallo che ho citato la serie proposta in effetti converge: prova col criterio del rapporto, molto più semplice del criterio della radice in questo caso...
Avevo tentato anche il Criterio del Rapporto, ma mi ero bloccata perché non ero sicura di poter scrivere che
$sin(1/(k+1)) ~ (k->oo) sin (1/k)$
Se questo è vero, allora il limite del rapporto vale $a$ che per imposizione è $< 1$. Sbaglio?
$sin(1/(k+1)) ~ (k->oo) sin (1/k)$
Se questo è vero, allora il limite del rapporto vale $a$ che per imposizione è $< 1$. Sbaglio?
Beh, ma guarda che non devi "per forza" fare uso delle stime asintotiche:
$ lim_{k \to +\infty} frac{c_{k + 1}}{c_k} = lim_{k \to +\infty} frac{a^{k + 1} sin(1/(k + 1))}{2 + k + 1}/frac{a^k sin(1/k)}{2 + k} = a lim_{k \to +\infty} frac{sin(1/(k + 1))}{sin(1/k)} \cdot frac{k + 2}{k + 3} = $
$ = a lim_{k \to +\infty} frac{sin(1/(k + 1))}{1/(k + 1)} \cdot frac{1/k}{sin(1/k)} \cdot frac{k}{k + 1} \cdot frac{k + 2}{k + 3} = a $
Dunque la serie proposta converge per $0 \le a \le 1 $ come già scritto nel mio post precedente.
$ lim_{k \to +\infty} frac{c_{k + 1}}{c_k} = lim_{k \to +\infty} frac{a^{k + 1} sin(1/(k + 1))}{2 + k + 1}/frac{a^k sin(1/k)}{2 + k} = a lim_{k \to +\infty} frac{sin(1/(k + 1))}{sin(1/k)} \cdot frac{k + 2}{k + 3} = $
$ = a lim_{k \to +\infty} frac{sin(1/(k + 1))}{1/(k + 1)} \cdot frac{1/k}{sin(1/k)} \cdot frac{k}{k + 1} \cdot frac{k + 2}{k + 3} = a $
Dunque la serie proposta converge per $0 \le a \le 1 $ come già scritto nel mio post precedente.
Oddio, hai assolutamente ragione, forse perché sono il modo più "veloce" tendo a cascarci più spesso.
Grazie infinite per l'aiuto :3
Grazie infinite per l'aiuto :3
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