Serie Numerica con radice
Buon pomeriggio. Vi scrivo perchè ho delle difficoltà con questo esercizio assegnato in un esame.
Si consideri la serie numerica:
$ sum_(n = 1) ^oo (((n^2+2)^(1/2) - (n^2+1)^(1/2))/(n+1))*n^alpha $
a) Sia $alpha=0$. Studiare il carattere della serie.
$ sum_(n = 1) ^oo ((n^2+2)^(1/2) - (n^2+1)^(1/2))/(n+1) $
Dallo studio del segno si nota subito che è a termini positivi. Inoltre risulta:
$ lim_(n -> oo ) ((n^2+2)^(1/2) - (n^2+1)^(1/2))/(n+1) ~~ lim_(n -> oo ) ((n^2)^(1/2)-(n^2)^(1/2))/n = 0 $
Quindi soddisfa la condizione necessaria di Cauchy alla convergenza. Arrivato a questo punto però non so con che criterio affrontare l'esercizio. Ne ho provati alcuni ma non riesco a concludere nulla.
Si consideri la serie numerica:
$ sum_(n = 1) ^oo (((n^2+2)^(1/2) - (n^2+1)^(1/2))/(n+1))*n^alpha $
a) Sia $alpha=0$. Studiare il carattere della serie.
$ sum_(n = 1) ^oo ((n^2+2)^(1/2) - (n^2+1)^(1/2))/(n+1) $
Dallo studio del segno si nota subito che è a termini positivi. Inoltre risulta:
$ lim_(n -> oo ) ((n^2+2)^(1/2) - (n^2+1)^(1/2))/(n+1) ~~ lim_(n -> oo ) ((n^2)^(1/2)-(n^2)^(1/2))/n = 0 $
Quindi soddisfa la condizione necessaria di Cauchy alla convergenza. Arrivato a questo punto però non so con che criterio affrontare l'esercizio. Ne ho provati alcuni ma non riesco a concludere nulla.
Risposte
no attento: quel limite non viene $0$ per i motivi che hai esposto; per calcolarlo in modo corretto devi razionalizzare, ossia
\begin{align}\frac{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+1}}{n+1}\cdot \frac{\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}}&=\frac{1 }{(n+1)(\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1})} \\
&\sim\frac{1 }{2n^2}\to 0. \end{align}
\begin{align}\frac{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+1}}{n+1}\cdot \frac{\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}}&=\frac{1 }{(n+1)(\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1})} \\
&\sim\frac{1 }{2n^2}\to 0. \end{align}
Avevo dei dubbi anche sul limite. Però mi chiedo, dalla teoria dei limiti so che il limite della soma è uguale alla somma dei limiti. E quindi posso vederlo come:
$ lim_(x -> oo ) sqrt(n^2+2)/(n+1) - lim_(x -> oo) sqrt(n^2+1)/(n+1) $
Ora il primo limite tende a 1 e il secondo anche e dalla sottrazione vedo che il limite che devo calcolare fa 0. Non è giusto come ragionamento?
$ lim_(x -> oo ) sqrt(n^2+2)/(n+1) - lim_(x -> oo) sqrt(n^2+1)/(n+1) $
Ora il primo limite tende a 1 e il secondo anche e dalla sottrazione vedo che il limite che devo calcolare fa 0. Non è giusto come ragionamento?
Qualcuno ha qualche idea su che criterio bisogna applicare?
Forse ho capito. Visto che razionalizando noto che
$ lim_(n) 1/((n+1)*sqrt(n^2+2)+(n+1)*sqrt(n^2+1))~~ 1/(2n^2) $
Allora dal confronto asintotico noterò che
$ lim_(n) (1/((n+1)*sqrt(n^2+2)+(n+1)*sqrt(n^2+1)))/(1/n^2) = 1/2 $
Ciò implica la convergenza della serie per $alpha=0$
$ lim_(n) 1/((n+1)*sqrt(n^2+2)+(n+1)*sqrt(n^2+1))~~ 1/(2n^2) $
Allora dal confronto asintotico noterò che
$ lim_(n) (1/((n+1)*sqrt(n^2+2)+(n+1)*sqrt(n^2+1)))/(1/n^2) = 1/2 $
Ciò implica la convergenza della serie per $alpha=0$
Nel punto b viene chiesto:
Sia $alpha>0$ studiare il carattere della serie.
Viste le considerazioni fatte prima si avrà
$ lim_(n) n^alpha/((n+1)*sqrt(n^2+2)+(n+1)*sqrt(n^2+1))~~ n^alpha/(2n^2)=1/(2(n^(2-alpha)) $
Ora se $alpha>=2$ non viene rispettata la condizione necessaria di Cauchy e quindi la serie non converge.
Se $01$ e quindi converge. Viceversa se $1<=alpha<2$ ha lo stesso carattere di una serie armonica generalizzata con $beta<=1$, quindi diverge positivamente.
Sono giuste queste considerazioni?
Sia $alpha>0$ studiare il carattere della serie.
Viste le considerazioni fatte prima si avrà
$ lim_(n) n^alpha/((n+1)*sqrt(n^2+2)+(n+1)*sqrt(n^2+1))~~ n^alpha/(2n^2)=1/(2(n^(2-alpha)) $
Ora se $alpha>=2$ non viene rispettata la condizione necessaria di Cauchy e quindi la serie non converge.
Se $0
Sono giuste queste considerazioni?
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