Serie numerica con parametro e fattoriale

[cristian.vitali.102]

ciao a tutti, ho un problema nella risoluzione di questo esercizio: capire per quali valori di $alpha$ la serie converge.

$\sum_{k=1}^infty log(k!)[1-cos(1/(k!))]^(alpha)$

verifico che la condizione necessaria di convergenza sia soddisfatta ovvero,

$lim_(k->infty) a_k=0$

$lim_(k->infty) log(k!)[1-cos(1/(k!))]^(alpha)$

sviluppando il coseno si ottiene:

$lim_(k->infty) log(k!)[1/(2k!)^(2alpha)]$

che tende a $0$ per $alpha>0$

dopodichè come potrei proseguire? son che per le serie con fattoriali è consigliabile usare il criterio del rapporto ma non so bene come utilizzarlo.. provo:

$lim_(k->infty) [log((k+1)!)[1-cos(1/((k+1)!))]^(alpha)]/[log(k!)[1-cos(1/(k!))]^(alpha)]$

se tende ad un valore $l<1$ la serie di partenza converge.
semplificando i termini si ottiene:

$lim_(k->infty) (log(k+1)+log(k!))/log(k!) (1/(k+1))^(2alpha)$

come posso concludere? per $alpha=0$ converge?

[Alegomind]

Ciao, sei ad un passo dalla soluzione, ti basta notare che:
\[\lim_{k \to \infty }\frac{log(k+1)+log(k!)}{log(k!)}=1\]

dunque non ti resta che capire quando:
\[\lim_{k \to \infty }\left (\frac{1}{k+1} \right )^{2\alpha }=l<1\]

Dato che hai già dedotto (calcoli giusti permettendo) che alfa deve essere maggiore di 0, quest'ultimo risultato risulta sempre vero quando k tende ad infinito, per tanto puoi concludere che converge per ogni alfa maggiore di 0.