Serie numerica con parametro
Salve a tutti, risolvendo alcuni esercizi ho incontrato il seguente:
Si studi il carattere della serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!a^n}{n^n}$ Al variare di a nei Reali
Io ho proceduto così:
Applico la convergenza assoluta e ottengo $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|n!a^n|}{|n^n|}$
A questo punto applico il criterio del rapporto quindi: $\lim_{n \to \infty} \frac{|(n+1)!a^{n+1}|}{|(n+1)^{n+1}|}\cdot \frac{|n^n|}{|n!a^n|}$
Per ottenere $\lim_{n \to \infty} \frac{|a|}{(1+1/n)^n} = \frac{|a|}{e}$ (Applicando il limite notevole)
Ora posso poncludere che la serie converge assolutamente e semplicemente per |a|e. Visto poi che preso a>e abbiamo una serie a termini positivi il precedente criterio del rapporto può essere fatto togliendo i moduli e quindi si ha che la serie diverge per a>e.
Rimane il caso dubbio di $|a|=e$ , e qui sorgono i problemi.
La soluzione del mio professore riporta: con il criterio del rapporto $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{e}{(1+1/n)^n}>1$ , si deduce che per $a=e$ la serie diverge positivamente, per $a=-e$ la serie è indeterminata.
Il mio dubbio sta quindi nel caso |a|=e, perche con il criterio del rapporto adesso il risultato è >1?
Si studi il carattere della serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!a^n}{n^n}$ Al variare di a nei Reali
Io ho proceduto così:
Applico la convergenza assoluta e ottengo $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|n!a^n|}{|n^n|}$
A questo punto applico il criterio del rapporto quindi: $\lim_{n \to \infty} \frac{|(n+1)!a^{n+1}|}{|(n+1)^{n+1}|}\cdot \frac{|n^n|}{|n!a^n|}$
Per ottenere $\lim_{n \to \infty} \frac{|a|}{(1+1/n)^n} = \frac{|a|}{e}$ (Applicando il limite notevole)
Ora posso poncludere che la serie converge assolutamente e semplicemente per |a|
Rimane il caso dubbio di $|a|=e$ , e qui sorgono i problemi.
La soluzione del mio professore riporta: con il criterio del rapporto $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{e}{(1+1/n)^n}>1$ , si deduce che per $a=e$ la serie diverge positivamente, per $a=-e$ la serie è indeterminata.
Il mio dubbio sta quindi nel caso |a|=e, perche con il criterio del rapporto adesso il risultato è >1?
Risposte
Dato che $(1+1/n)^n
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e}{\left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n} >1
\]
e perciò $a_{n+1}>a_n$; da ciò segue che $(a_n)$ non infinitesima, poiché è crescente e positiva, e dunque $\sum a_n$ non converge.
Per $a=-e$, la serie si riscrive $\sum (-1)^n a_n$ in cui $a_n$ è l'addendo della serie ottenuta per $a=e$; tale serie è a segni alterni ma non soddisfa le ipotesi del Criterio di Leibniz, quindi la serie è indeterminata.
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e}{\left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n} >1
\]
e perciò $a_{n+1}>a_n$; da ciò segue che $(a_n)$ non infinitesima, poiché è crescente e positiva, e dunque $\sum a_n$ non converge.
Per $a=-e$, la serie si riscrive $\sum (-1)^n a_n$ in cui $a_n$ è l'addendo della serie ottenuta per $a=e$; tale serie è a segni alterni ma non soddisfa le ipotesi del Criterio di Leibniz, quindi la serie è indeterminata.
Però scusa per n-> infinito (1+1/n)^n non dovrebbe tendere a $e$ e quindi di conseguenza il limite del rapporto fare 1?
Appunto... Ed è proprio per questo che non si può usare tale criterio.
Ho capito, grazie!
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