Serie numerica con parametro

[Mimmo931]

Come si svolge questo tipo di serie con parametro?
Determinare tutti e solo i valori $ \alpha \ $ $ \in $ R tali che la serie numerica sia convergente

$ \sum_{n=1}^(+\infty) arcsin(1/(1+\alpha^(2n))) $

[21zuclo]

qualche idea tua?..

un piccolo suggerimento..usa l'asintotico..

[Mimmo931]

Allora l'arcsin è asintotico a $ 1/(1+\alpha^(2n)) $ , che è infinitesimo. Adesso applico il criterio della radice?

[elianto84]

Dev'essere $|\alpha|>1$ altrimenti il termine generale non sarebbe infinitesimo e dunque la serie non potrebbe convergere. D'altro canto, se $|alpha|>1$, il termine generale, in valore assoluto, è definitivamente controllato da $\frac{1}{|\alpha|^n}$, dunque la serie converge per confronto con la serie geometrica.

[Mimmo931]

Perchè è definitivamente controllato da $ \frac{1}{|\alpha|^n} $ ?