Serie Numerica con log
Devo studiare il carattere della serie numerica
$sum_(n =2 \ldots) n*log^2((n^2-3)/n^2)$
verifico la condizione necessaria riscrivendo l'argomento del log in modo diverso
$lim_(x -> +00) n*log^2(1-3/n^2) = 0$ quindi la serie può convergere
allora la serie converge o diverge positivamente
riscrivo la serie come
$ sum_(n =2 \ldots) log^2(1-3/n^2)^n $
che è circa uguale a
$log^2(1^n)=0$ e quindi la serie converge a un numero positivo che è 0 (ma che poi 0 non è un numero positivo -.-)
mi aiutate? alla fine la serie deve convergere a un numero positivo
$sum_(n =2 \ldots) n*log^2((n^2-3)/n^2)$
verifico la condizione necessaria riscrivendo l'argomento del log in modo diverso
$lim_(x -> +00) n*log^2(1-3/n^2) = 0$ quindi la serie può convergere
allora la serie converge o diverge positivamente
riscrivo la serie come
$ sum_(n =2 \ldots) log^2(1-3/n^2)^n $
che è circa uguale a
$log^2(1^n)=0$ e quindi la serie converge a un numero positivo che è 0 (ma che poi 0 non è un numero positivo -.-)
mi aiutate? alla fine la serie deve convergere a un numero positivo
Risposte
Non serve appellarsi a cose "circa uguali". Anche perchè una volta portato dentro il logaritmo al quadrato $n$ diventa $ \sqrt{n}$. Ti consiglio di usare il confronto asintotico, tenendo conto che
\[ n \cdot \ln^2 \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right ) = \frac{9}{9}\frac{n^4}{n^3} \cdot \ln^2 \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right ) = \frac{9}{n^3} \cdot \left [\frac{\ln \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right )}{\frac{-3}{n^2}} \cdot \frac{\ln \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right )}{\frac{-3}{n^2}} \right ] \]
\[ n \cdot \ln^2 \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right ) = \frac{9}{9}\frac{n^4}{n^3} \cdot \ln^2 \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right ) = \frac{9}{n^3} \cdot \left [\frac{\ln \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right )}{\frac{-3}{n^2}} \cdot \frac{\ln \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right )}{\frac{-3}{n^2}} \right ] \]
"Berationalgetreal":
Non serve appellarsi a cose "circa uguali". Anche perchè una volta portato dentro il logaritmo al quadrato $n$ diventa $ \sqrt{n}$. Ti consiglio di usare il confronto asintotico, tenendo conto che
\[ n \cdot \ln^2 \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right ) = \frac{9}{9}\frac{n^4}{n^3} \cdot \ln^2 \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right ) = \frac{9}{n^3} \cdot \left [\frac{\ln \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right )}{\frac{-3}{n^2}} \cdot \frac{\ln \left ( 1 - \frac{3}{n^2} \right )}{\frac{-3}{n^2}} \right ] \]
non ho capito perchè hai manipolato in quel modo l'espressione
Perché così, facendo il confronto asintotico con la serie armonica di grado 3, puoi sfruttare il limite notevole del logaritmo, cioè:
\[ \lim_{f(x) \to 0} {\frac{ \ln (1 + f(x))}{f(x)}} = 1 \]
\[ \lim_{f(x) \to 0} {\frac{ \ln (1 + f(x))}{f(x)}} = 1 \]
non conoscevo questo limite notevole! grazie mille! 
Viene considerato un limite notevole, ma in realtà rientra nel limite notevole di $e$:
\[ \lim_{ f(x) \to 0} {\frac{\ln \left ( 1 + f(x) \right )}{f(x)}} = \lim_{ f(x) \to 0} {\ln \left ( 1 + f(x) \right )^{\frac{1}{f(x)}}} = \ln \left ( \lim_{f(x) \to 0} {\left (1 + f(x) \right )^{\frac{1}{f(x)}}} \right ) = \ln e = 1 \]
\[ \lim_{ f(x) \to 0} {\frac{\ln \left ( 1 + f(x) \right )}{f(x)}} = \lim_{ f(x) \to 0} {\ln \left ( 1 + f(x) \right )^{\frac{1}{f(x)}}} = \ln \left ( \lim_{f(x) \to 0} {\left (1 + f(x) \right )^{\frac{1}{f(x)}}} \right ) = \ln e = 1 \]
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