Serie Numerica con coseno. procedimento errato?
salve a tutti, questa volta mi sono bloccato su questa serie.io l'ho risolta cosi....
$ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ (cos(npi/2))/n $
io l?ho risolta dicendo che: poiche $ | cos(npi/2) | $ è compreso tra -1 e 1
e poichè a noi interessano la parte $ <= 1 $ allora ho detto che:
$ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ (cos(npi/2))/n $ $ <= $ $ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ 1/n $
arrivati a questo punto poichè $ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ 1/n $ diverge, posso dire che anche quella di partenza diverge?
potete dirmi cortesemente dove sbaglio?please!
$ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ (cos(npi/2))/n $
io l?ho risolta dicendo che: poiche $ | cos(npi/2) | $ è compreso tra -1 e 1
e poichè a noi interessano la parte $ <= 1 $ allora ho detto che:
$ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ (cos(npi/2))/n $ $ <= $ $ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ 1/n $
arrivati a questo punto poichè $ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ 1/n $ diverge, posso dire che anche quella di partenza diverge?
potete dirmi cortesemente dove sbaglio?please!
Risposte
"clacla87":
[...]
arrivati a questo punto poichè $ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ 1/n $ diverge, posso dire che anche quella di partenza diverge?
[...]
Assolutamente no. Stai usando il criterio del confronto al contrario.
Prova a notare che \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \left( k \frac{\pi}{2} \right)}{k}=-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}+... \]
è equivalente a \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{2k} \]
"Delirium":
[quote="clacla87"][...]
arrivati a questo punto poichè $ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ 1/n $ diverge, posso dire che anche quella di partenza diverge?
[...]
Assolutamente no. Stai usando il criterio del confronto al contrario.
Prova a notare che \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \left( k \frac{\pi}{2} \right)}{k}=-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}+... \]
è equivalente a \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{2k} \][/quote]
Che con Liebniz, essendo in valore assoluto una serie decrescente e tendente a 0 per $k->oo$ converge (semplicemente, non assolutamente perchè è asintotica a una serie divergente), giusto?
Sì, diciamo di sì.
"Delirium":
Sì, diciamo di sì.
Se sono stato impreciso correggimi pure xD
ragazzi scusate ma non riesco prorpio a capire.... 
ok allora vediamo se ho capito: la nostra serie di partenza equivale a $ sum_(n=1)^(+oo) ((-1)^n)/(2n) $
ora: per il criterio di Leibniz devo dimostrare che il mio an = $1/(2n)$ sia decrescente e quindi dico che:
se prendo $ a1/(2b)$ percui il mio an è strett. decresc.
successivamente devo dimostrare che il limite $ rarr lim_(n -> +oo ) $ $ 1/(2n) = 0 $ , siccome lo è
allora posso dire che la serie è convergente.
questo mi sembra di aver capito con i vostri aiuti....ditemi per favore se sia corretto. grazie
ora: per il criterio di Leibniz devo dimostrare che il mio an = $1/(2n)$ sia decrescente e quindi dico che:
se prendo $ a1/(2b)$ percui il mio an è strett. decresc.
successivamente devo dimostrare che il limite $ rarr lim_(n -> +oo ) $ $ 1/(2n) = 0 $ , siccome lo è
allora posso dire che la serie è convergente.
questo mi sembra di aver capito con i vostri aiuti....ditemi per favore se sia corretto. grazie
Esattamente.
grazie mille per il tuo aiuto...
"LukeTek":
Che con Liebniz, essendo in valore assoluto una serie decrescente e tendente a 0 per $k->oo$ converge (semplicemente, non assolutamente perchè è asintotica a una serie divergente), giusto?
Mettiamo un po' di ordine...
Il valore assoluto del termine generale è una successione decrescente ed inoltre si ha che $lim_k |(-1)^k/(2k) | = lim_k 1/(2k) = 0$. Quindi, per il criterio di Leibniz, la serie data converge.
Si può dire inoltre che la serie è semplicemente convergente perché la serie dei valori assoluti diverge, avendo, come hai spiegato tu, lo stesso carattere della serie armonica.
... E nella fattispecie ricordo che il criterio di Leibniz non è che un corollario di un criterio più generale ed elegante (IMHO), ossia il criterio di Abel-Dirichlet.
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