Serie numerica con arcsin

[cristian.vitali.102]

ciao,
un esercizio mi chiedeva di studiare il comportamento di questa serie:

$\sum_{k=1}^infty n^a[pi-arcsin(k/(1+k))]$

come posso trasformare quel $arcsin$? l approssimazione in $x_0=1$ di arcsin se esiste, qual è?

[dan952]

Non complicarti le cose, $\arcsin$ è limitata e si sa nelle serie numeriche i termini limitati poco contano (basta un confronto), mi concentrerei più su $k^{\alpha}$

[cristian.vitali.102]

non capisco

[dan952]

Poiché $-\pi/2 \leq \arcsin(\frac{k}{k+1}) \leq \pi/2$ si ha:
$$\sum k^{\alpha}\pi/2 \leq \sum k^{\alpha}(\pi-\arcsin(\frac{k}{k+1}) \leq \sum k^{\alpha}3\pi/2$$

È più chiaro?

[cristian.vitali.102]

quindi la serie converge per $a<1$??