Serie numerica, come sfruttarla?

[Darèios89]

Ho questa serie:

[tex]\sum_{i=0}^{\log_2(n)-1}2^in\log_2(2)^i[/tex]

[tex]n\sum_{i=0}^{\log_2(n)-1}2^ii[/tex]

Devo arrivare ad ottenere:

[tex]n(2^{\log(n)}\log(n)-2*2^{\log(n)}+2)[/tex]

Mi serve per un esercizio....ma non riesco a ricondurla a quella forma.

So che [tex]2^i[/tex] mediante derivata diventa [tex]2^{\log(n))}-1[/tex] ma come tratto [tex]\sum_{i=0}^{\log_2(n)-1}i[/tex]?

Mi serve proprio ricondurla a quella forma, spero possiate aiutarmi. Grazie.

[Giuly191]

Puoi scrivere meglio le uguaglianze che devi dimostrare che magari ci provo?

[Darèios89]

Emh...un pò difficile, è un quesito di algoritmi.

Preciso una cosa, per [tex]2^i[/tex] considera che si può scrivere visto che è una serie geometrica come:
[tex]\frac{2^{\log_2(n)-1+1}-1}{2-1}[/tex] cioè [tex]2^{\log(n)}-1[/tex]

Al limite se mi dai l' indirizzo mail ti mando un pdf con questo esercizio. E' molto importante....grazie.
P.S non riesco a capire come arriva a quel risultato moltiplicando i e 2^i. Supponendo che 2^ì diventi come ti ho scritto non capisco come arriva a quella conclusione.

[ciampax]

Vediamo se ho capito: devi calcolare la seguente somma $n\sum_{i=1}^{N(n)} i\ 2^i$ dove $N(n)=[2\log_2 n-1]$ (suppongo che tu voglia calcolare la parte intera di quel termine, cioè l'intero che lo approssima dal basso, altrimenti la sommatoria non ha molto senso, visto che l'estremo superiore deve essere un numero intero. Tra l'altro ti faccio presente che quella che hai non è una serie, ma una sommatoria.).

Comunque, indichiamo quella somma con $S_{N(n)}$. Ora vale la seguente identità

[tex]$S_{N(n)}=2S_{N(n)}-S_{N(n)}=2n\sum_{i=1}^{N(n)} i\ 2^i-n\sum_{i=1}^{N(n)} i\ 2^i=
n\sum_{i=1}^{N(n)} i\ 2^{i+1}-n\sum_{i=1}^{N(n)} i\ 2^{i}=$[/tex]

riscalando la prima sommatoria in modo che $j=i+1$, si ha

[tex]$=n\sum_{j=2}^{N(n)+1} (j-1)\ 2^{j}-n\sum_{i=1}^{N(n)} i\ 2^{i}=n\sum_{j=2}^{N(n)+1} j\ 2^{j}-n\sum_{j=2}^{N(n)+1} 2^{j}-n\sum_{i=1}^{N(n)} i\ 2^{i}=$[/tex]

riscrivendo la prima sommatoria

[tex]$=n\sum_{j=1}^{N(n)} j\ 2^{j}-2n+n\cdot (N(n)+1)\cdot 2^{N(n)+1}-n\sum_{j=2}^{N(n)+1} 2^{j}-n\sum_{i=1}^{N(n)} i\ 2^{i}=$[/tex]

[tex]$=S_{N(n)}-2n+n\cdot(N(n)+1)\cdot 2^{N(n)+1}-n\sum_{j=0}^{N(n)+1} 2^j+n+2n-S_{N(n)}=$[/tex]

[tex]$=n+n\cdot(N(n)+1)\cdot 2^{N(n)+1}-n\cdot\frac{2^{N(n)+1}-1}{2-1}=n\left(2+N(n)\cdot 2^{N(n)+1}\right)$[/tex]

Che è il valore cercato.