Serie numerica al variare di x

[Darèios89]

[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}[/tex] con x>0.

Per x>1 diventa a termini positivi e applicando il corollario al criterio del rapporto mi risulta divergente, il problema è per [tex]0
Non so che fare.....perchè hanno inventato queste serie al variare di x

[faximusy]

Per $x>1$ non soddisfa proprio la condizione necessaria

per $0
per $x<0$ diventa a segni alterni, e quindi...

[Darèios89]

Si per x>1 non la soddisfa, e diverge, ma per esempio per x=1 io come lo calcolo il limite?

1 elevato ad infinito è limitata, ma non dotata di limite, quindi prodotto di una successione infinitesima per una.....non so infinitamente grande?

Non so come comportarmi....... e poi il caso x<0 non bisogna considerarlo....

Mentre per x compresa tra 0 e 1 la condizione necessaria è verificata, ma devo poi studiarla con qualche criterio....e non capisco come..

[pater46]

Si invece. $lim_{n} 1^n = 1$

Questo perchè $1^n = 1 forall n in NN$.

E' una cosa ben diversa da una condizione tipo $lim (1 + 1/n)^n$... qui il tuo $1$ è proprio una costante, non un qualcosa che tende a 1.
E quindi sapendo questo ti viewne una serie armonica che..... cosa fa una serie armonica?

Poi, per $0

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[Darèios89]

Allora io non ho capito una cosa.

Tempo fa abbiamo introdotto dei limiti per le succesioni, dove si diceva che

[tex]an^n[/tex] tende a 1 per an=1.

Per le funzioni invece abbiamo detto che 1^n è una forma indeterminata, perchè per le funzioni è forma indeterminata e per le succesioni fa 1?

Allora per la serie ho pensato questo.

Per x>1 diverge perchè non soddisfa la condizione

Per x=1 diventa [tex]\frac{1}{n}[/tex]

Che diverge positivamente.

Per [tex]0
[tex]\frac{x^n}{n}
Però non sono mai sicuro di questi miei confronti. Così la serie converge perchè maggiorata dalla serie geometrica.

Per quato riguarda il fatto di considerare il criterio del rapporto ho un altro dubbio.

Per [tex]0
Il criterio del rapporto vale per le serie a termini positivi, dove an>0, ma siccome qui an>=0 in teoria io quel criterio NON potrei applicarlo, o sbaglio?

[pater46]

Per $x=0$ quella serie converge di suo, perchè sarebbe $sum 0 = 0$!

$lim x^(n+1)/(n+1) \cdot n/x^n = lim (x \cdot x^n)/(x^n) \cdot n/(n+1) = x$
E visto che $0

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[Darèios89]

Sei sicuro che puoi applicare il criterio del rapporto?

Per x compreso tra 0 e uno non abbiamo almeno un termine che è uguale a 0?

Se si il criterio non si può applicare.

[pater46]

Termine che uguale a 0? Tipo?

$ sum 0.5^n/n $

Io non vedo termini uguali a 0. E, anche se fosse il numeratore uguale a 0 ( ripeto nuovamente.. ) avresti

$sum 0/n =sum 0 = 0$

che ( guarda un pò ) converge.

[Darèios89]

Lo sai che hai ragione...

Scusa l'insistenza....

Ma secondo te il confronto che ho fatto prima è sbagliato?
Si con il criterio del rapporto va bene, ma confrontare con la serie geometrica come ho fatto io?
Ho fatto un confronto sbagliato?

[pater46]

Ahaha ma figurati, fai bene ad insistere, avrei potuto sbagliare anche io..

Comunque si, anche quel confronto andava bene, solo che ti dava informazioni sulla sola convergenza...