Serie numerica

[Daddarius1]

$sum_(n =1)^(oo) (n^3+pi)^(1/3) -n$ Applico il criterio degli infinitesimi $lim_n n^p* (n^3+pi)^(1/3) -n$. Ora evidenzio $n^3 come (n^3*(1+ pi/n^3))^(1/3) - n$ che diventa $n*[(1+ pi/n^3)^(1/3) - 1]$ che mi da $n*((1/3)*pi/n^3 $QUI, cioè $pi/ 3n^2$ e quindì
$lim_n n^p * pi/3n^2$ è uguale a $pi/3$, essendo $p=2$ e quindì >1 e $l!=+oo$ la serie converge. Dove ho inserito QUI che limite notevole si usa? Questo risultato l ho ottenuto sfruttando il limite asintotico $(1+x)^a -1 = a*x$, ma non lo ho studiato e vorrei capire perchè esce così e se esiste un altro metodo, magari utilizzando i limiti notevoli, oppure la razionalizzazione di un radice cubica.

[theras]

A guardare oltre un pò di disordine,c'è del buono in quel che hai scritto
(anche se t'invito a notare come conti solo che $pi$ è finito..):
solo che,davvero,non son riuscito a capire se non sai come $EElim_(x to 0)((1+x)^(alpha)-1)/x=alpha$
(anche perchè il dubbio che cosi fosse m'era già venuto in un tuo precedente post..),
oppure se lo vuoi dimostrato
(in tal caso verifiche,con una certà varietà di metodi,ne trovi certamente sui libri di testo..)!
Saluti dal web.

[Daddarius1]

"Daddarius":$sum_(n =1)^(oo) (n^3+pi)^(1/3) -n$ Applico il criterio degli infinitesimi $lim_n n^p* (n^3+pi)^(1/3) -n$. Ora evidenzio $n^3 come (n^3*(1+ pi/n^3))^(1/3) - n$ che diventa $n*[(1+ pi/n^3)^(1/3) - 1]$ che mi da $n*((1/3)*pi/n^3 $QUI, cioè $pi/ 3n^2$ e quindì
$lim_n n^p * pi/3n^2$ è uguale a $pi/3$, essendo $p=2$ e quindì >1 e $l!=+oo$ la serie converge. Dove ho inserito QUI che limite notevole si usa? Questo risultato l ho ottenuto sfruttando il limite asintotico $(1+x)^a -1 = a*x$, ma non lo ho studiato e vorrei capire perchè esce così e se esiste un altro metodo, magari utilizzando i limiti notevoli, oppure la razionalizzazione di un radice cubica.

$n*[(1+ pi/n^3)^(1/3) - 1]$ Arrivato qui moltiplico e divido per $pi/n^3$ e ho il limite notevole. Che guercio... Volevo RIconoscere il lmite d'applicare; era sotto i miei occhi. Grazie!