Serie numerica

[Daddarius1]

Ho la seguente serie $sum_( n= 1)^(oo)$ $[n^2 / 6* (sqrt((n^2 + 6)/(n^2 +1)) - 1)]^n $. Applico il criterio della radice così mi elimino l'elevazione a n della parentesi quadra. Ora ho $lim_( n-> oo) $ $n^2 / 6* (sqrt((n^2 + 6)/(n^2 +1)) - 1) $. E da qui ho raccolto $n^2$ sotto la parentesi, ottenuto $sqrt(1) $ , arrivando a $ n^2 / 6 * (sqrt(1)-1) $ cioè 0. Quindì $l$ è minore di 1 e la serie converge.

[_prime_number]

No, quella è una forma indeterminata $0*\infty$, non puoi concludere così facilmente.Tenta ancora!
Buona l'idea del criterio della radice. Consiglio: denominatore comune tra le parentesi e razionalizzare a manetta.

Paola

[Daddarius1]

Ora ci riprovo.

[Daddarius1]

$ (sqrt((n^2 + 6)/(n^2 +1)) - 1) * (sqrt((n^2 + 6)/(n^2 +1)) +1)/(sqrt((n^2 + 6)/(n^2 +1)) +1)$ così da avere $((n^2 + 6)/(n^2 +1) -1)$/$ (sqrt((n^2 + 6)/(n^2 +1)) +1)$. Ora il numeratore diventa $(n^2 +6 - n^2 - 1)/(n^2 +1)$ = $(5)/( n^2 +1)$ e il denominatore diventa $2$; quindi si ha $ ((10)/(n^2 + 1))*(n^2 / 6) $ , cioè $10/6$ $l$ > 1, la serie diverge.

[_prime_number]

Spe, spe, tutto ok tranne qui
$((n^2+6)/(n^2+1)-1)* 1/(...)$ tende quindi a $5/(2(n^2+1))$ e dunque alla fine a $5/12$.

Paola

[Daddarius1]

Letto.

[theras]

Ciao ad entrambi!

"prime_number":No, quella è una forma indeterminata $0*\infty$, non puoi concludere così facilmente.Tenta ancora!
Buona l'idea del criterio della radice. Consiglio: denominatore comune tra le parentesi e razionalizzare a manetta.

Paola

Oppure $lim_(n to +oo)(n^2)/6(sqrt((n^2+6)/(n^2+1))-1)=lim_(n to +oo)((1+5/(n^2+1))^(1/2)-1)/(5/(n^2+1))5/6(n^2)/(n^2+1)$:
teorema ponte tra limiti di funzioni e di successioni,una spruzzatina infinitesima di limiti notevoli ed il gioco è fatto!
Saluti dal web.

[Daddarius1]

"theras":Ciao ad entrambi!
[quote="prime_number"]No, quella è una forma indeterminata $0*\infty$, non puoi concludere così facilmente.Tenta ancora!
Buona l'idea del criterio della radice. Consiglio: denominatore comune tra le parentesi e razionalizzare a manetta.

Paola

Oppure $lim_(n to +oo)(n^2)/6(sqrt((n^2+6)/(n^2+1))-1)=lim_(n to +oo)((1+5/(n^2+1))^(1/2)-1)/(5/(n^2+1))5/6(n^2)/(n^2+1)$:
teorema ponte tra limiti di funzioni e di successioni,una spruzzatina infinitesima di limiti notevoli ed il gioco è fatto!
Saluti dal web.[/quote]

Potresti esplicitare i passaggi per ottenere il limite notevole? Grazie