Serie Numerica
Salve a tutti,
oggi mentre studiavo mi sono imbattuto in questa serie :
$ sum_(n = 1)^(+oo) (n^(3)-3^(n))/(log(n) + 5^(n)) $
allora, io ho pensato prima di tutto se potesse essere a termini reali positi, ma nn credo.poi per risolverla non saprei proprio come fare.forse con le stime asintotiche? sarei grato a chi mi volesse aiutare.
grazie
oggi mentre studiavo mi sono imbattuto in questa serie :
$ sum_(n = 1)^(+oo) (n^(3)-3^(n))/(log(n) + 5^(n)) $
allora, io ho pensato prima di tutto se potesse essere a termini reali positi, ma nn credo.poi per risolverla non saprei proprio come fare.forse con le stime asintotiche? sarei grato a chi mi volesse aiutare.
grazie
Risposte
Il denominatore è sicuramente positivo, mentre il numeratore è definitivamente minore di $0$. La serie è quindi a termini di segno definitivamente $< 0$.
$log(n) + 5^n$ è un infinito dello stesso ordine di $5^n$, seguendo la filosofia secondo la quale si possono trascurare, in una somma di infiniti, quelli di ordine inferiore. Analogamente a numeratore...
Quindi...
$log(n) + 5^n$ è un infinito dello stesso ordine di $5^n$, seguendo la filosofia secondo la quale si possono trascurare, in una somma di infiniti, quelli di ordine inferiore. Analogamente a numeratore...
Quindi...
Oppure studia la convergenza assoluta.
Nel tuo caso vale \[\displaystyle |n^{3} - 3^{n}| < |n^{3} + 3^{n}| < 2 \cdot 3^{n} \]
quindi \[\displaystyle \left| \frac{n^{3} - 3^{n}}{\log n + 5^{n}} \right| < \frac{2 \cdot 3^{n}}{5^{n}} \]
E concludi di serie geometrica.
Nel tuo caso vale \[\displaystyle |n^{3} - 3^{n}| < |n^{3} + 3^{n}| < 2 \cdot 3^{n} \]
quindi \[\displaystyle \left| \frac{n^{3} - 3^{n}}{\log n + 5^{n}} \right| < \frac{2 \cdot 3^{n}}{5^{n}} \]
E concludi di serie geometrica.
quindi se ho capito bene questa è una serie a termini negativi. per la risoluzione io avevo pensato al denominatore di fare quello che hai detto tu(scusa se ti do del tu ) mentre al numeratore dovrei dire che
per $ nrarr oo $ n^(3) - 3^(n) ~ -3^(n)
e log(n) + 5^(n) ~ 5^(n) quindi si avrà
-3^(n)/5^(n) che equivale a dire (-3/5)^n.
percui poiche questa è una serie geometrica di ragione q=-3/5 che è -1<-3/5<1
quindi converge.
E' questo il ragionamento giusto da fare? o sbaglio qualcosa?
) mentre al numeratore dovrei dire cheper $ nrarr oo $ n^(3) - 3^(n) ~ -3^(n)
e log(n) + 5^(n) ~ 5^(n) quindi si avrà
-3^(n)/5^(n) che equivale a dire (-3/5)^n.
percui poiche questa è una serie geometrica di ragione q=-3/5 che è -1<-3/5<1
quindi converge.
E' questo il ragionamento giusto da fare? o sbaglio qualcosa?
scusa delirium ma nn ho capito da dove sia saltato fuori quel 2 a 2*3^(n)
"clacla87":
quindi se ho capito bene questa è una serie a termini negativi. per la risoluzione io avevo pensato al denominatore di fare quello che hai detto tu(scusa se ti do del tu
per $ nrarr oo $ n^(3) - 3^(n) ~ -3^(n)
e log(n) + 5^(n) ~ 5^(n) quindi si avrà
-3^(n)/5^(n)
Fin qua va bene... $sum - ( 3/5 )^n$ è una serie geometrica di ragione $ 0 <= 3/5 < 1$, dunque converge.
"clacla87":
scusa delirium ma nn ho capito da dove sia saltato fuori quel 2 a 2*3^(n)
Siccome \[\displaystyle n^{3}<3^{n} \]
definitivamente, allora \[\displaystyle n^{3} + 3^{n} < 3^{n} + 3^{n}=2 \cdot 3^{n} \]
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