Serie Numerica
Salve a tutti,è il mio primo post in questo forum e visto che ero rimasto molto colpito dalle discussioni che si affrontano ho deciso di iscrivermi.Vorrei porvi una domanda su una serie numerica:
$\sum_{n=1}^N (1-n*log(1+1/n))$
Avevo già posto la domanda sulla ricerca del carattere di questa serie numerica a un mio amico,commentando che secondo i miei calcoli la serie doveva divergere e ottengo come risposta che in realtà la serie converge poichè "ricorda lo sviluppo del logaritmo log(1+x)=x+...Quando x tende a 0 in questo caso log(1+1/n)=1/n+... infatti, posto x=1/n quando n tende a più infinito x tende a 0). Dunque la serie è asintotica a 1-n(1/n)=1-1=0 che converge banalmente. La serie di partenza ha lo stesso carattere di questa serie e quindi converge.".
Ora io non riesco a capire,è normale che fermando lo sviluppo con Taylor al primo ordine si ottiene la convergenza della serie,anche perchè ho pensato che in tutti i limiti se fermiamo lo sviluppo al primo ordine con Taylor otteniamo sempre limiti che tendono a zero.Continuando lo sviluppo con Taylor si ottiene
$1-n*log(1+1/n)$ = $1-n*(1/n+1/(2*n^2)+o(n^2))$ e quindi dalla semplificazione si ottiene una serie armonica
$1/(2*n)$ che quindi dovrebbe divergere,ma comunque non ne ho la certezza,per questo volevo le vostre opinioni in merito
$\sum_{n=1}^N (1-n*log(1+1/n))$
Avevo già posto la domanda sulla ricerca del carattere di questa serie numerica a un mio amico,commentando che secondo i miei calcoli la serie doveva divergere e ottengo come risposta che in realtà la serie converge poichè "ricorda lo sviluppo del logaritmo log(1+x)=x+...Quando x tende a 0 in questo caso log(1+1/n)=1/n+... infatti, posto x=1/n quando n tende a più infinito x tende a 0). Dunque la serie è asintotica a 1-n(1/n)=1-1=0 che converge banalmente. La serie di partenza ha lo stesso carattere di questa serie e quindi converge.".
Ora io non riesco a capire,è normale che fermando lo sviluppo con Taylor al primo ordine si ottiene la convergenza della serie,anche perchè ho pensato che in tutti i limiti se fermiamo lo sviluppo al primo ordine con Taylor otteniamo sempre limiti che tendono a zero.Continuando lo sviluppo con Taylor si ottiene
$1-n*log(1+1/n)$ = $1-n*(1/n+1/(2*n^2)+o(n^2))$ e quindi dalla semplificazione si ottiene una serie armonica
$1/(2*n)$ che quindi dovrebbe divergere,ma comunque non ne ho la certezza,per questo volevo le vostre opinioni in merito
Risposte
Benvenuto nel forum! Dovremmo darti un premio perché sei riuscito a fare il tuo primo post senza infrangere il regolamento [ultimamente sembra un compito piuttosto difficile..]
Venendo al tuo problema..
Indizio 1: usa le proprietà dei logaritmi per spostare la \(n\) che c'è davanti al logaritmo
Indizio 2: esiste una comoda condizione necessaria per la convergenza di una serie.. Hai capito di cosa sto parlando?
Venendo al tuo problema..
Indizio 1: usa le proprietà dei logaritmi per spostare la \(n\) che c'è davanti al logaritmo
Indizio 2: esiste una comoda condizione necessaria per la convergenza di una serie.. Hai capito di cosa sto parlando?
@Raptorista: Mi sembra che questo secondo indizio in questo esercizio non serva (immagino sia un logaritmo naturale, quello lì)...
Se stai parlando del fatto che la successione generatrice deve essere un'infinitesima l'ho già verificato... $log(1+1/n)^n$ è un limite notevole il cui risultato è 1,quindi 1-1=0.Altrimenti non so a cosa ti stai riferendo! 
Ovviamente avete ragione voi, avevo mentalmente tolto l'addendo col logaritmo e ci avevo piazzato \(e\) anziché \(1\) XD
Chiederò a Stan di bloccare il mio account dopo le 22, così da non dare a me l'occasione di scrivere boiate, ed a Seneca quella di riprendermi
Chiederò a Stan di bloccare il mio account dopo le 22, così da non dare a me l'occasione di scrivere boiate, ed a Seneca quella di riprendermi
Ahahahahahah...e vabbè,spero solo che qualcuno mi illumini,dato che questo era una serie di un vecchio compito d'esame e vorrei capire come si risolve prima di farlo!
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