Serie numerica

dot1
dovrei risolvere questa serie:
$\sum_{n=1}^(+oo) (2^n*(n!))/(e^n*x^n)$
Il mio ragionamento è questo:
studio i due casi $x>0$ e $x<0$

per $x>0$ è una serie a termini positivi quindi applico il criterio del rapporto:
$lim_(n->+oo)((2^(n+1)*(n+1)!)/(e^(n+1)*x^(n+1))*(e^n*x^n)/(2^n*(n!)))=lim_(n+oo)((2n)/(ex))=+oo$
e concludo che la serie diverge.

Ora riguardo al caso $x<0$ ho usato l'assoluta convergenza in quanto la serie non è a termini positivi, e il criterio del rapporto:
$lim_(n->+oo)|(2^(n+1)*(n+1)!)/(e^(n+1)*x^(n+1))*(e^n*x^n)/(2^n*(n!))|=lim_(n+oo)|(2n)/(ex)|=+oo$
ma se tende ad infinito non posso dire nulla sul carattere della serie...

Spero di non aver detto scemenze...
Il procedimento è giusto?
Come faccio a risolvere il caso $x<0$ ?

Risposte
Rigel1
La serie $\sum_n n! q^n$ converge solo per $q=0$; per $q>0$ diverge a $+\infty$, mentre per $q<0$ è oscillante (dal momento che $n! |q|^n\to +\infty$ per ogni $q\ne 0$).
Nel tuo caso hai $q = 2/(e x)$.

dot1
ok ho capito il ragionamento,
praticamente dedurre il carattere della serie era più semplice di quanto sembrava.
Però mi rimane un dubbio: nel caso $q<0$ applicando l'assoluta convergenza, come hai detto tu $n!|q|^n->+oo$, ma come arrivi alla conclusione che la serie è oscillante?
L'assoluta convergenza vale solo per il caso in qui il valore assoluto converge. Per il caso $+oo$ non dice nulla...
grazie dell'aiuto.

Rigel1
Per $q\ne 0$, il termine $n! |q|^n$ diverge a $+\infty$; inoltre, è definitivamente monotono crescente (come si evince facilmente considerando il rapporto fra il termine di posto $n+1$ ed il termine di posto $n$).
Quindi ti ritrovi ad avere una serie a termini di segno alterno, del tipo $\sum_n (-1)^n a_n$, con $a_n$ che diverge a $+\infty$, monotonamente da un certo indice $N$; possiamo naturalmente anche supporre $a_n > 0$ per ogni $n\ge N$.

Consideriamo le somme parziali $s_n := \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k$.
Se $2n > N$ avremo che:
$s_{2n+2} - s_{2n} = -a_{2n+1} + a_{2n+2} > 0$;
$s_{2n+1} - s_{2n-1} = a_{2n} - a_{2n+1} < 0$.
Quindi, definitivamente, $(s_{2n})$ è monotona crescente mentre $(s_{2n-1})$ è monotona decrescente; di conseguenza esistono i limiti
$\lim_n s_{2n} =: s_p \in (-\infty, +\infty]$, $\lim_n s_{2n-1} =: s_d \in [-\infty, +\infty)$.
Fissato un qualsiasi indice $m$ t.c. $2m > N$ avremo che
$ \ldots < s_{2m+1} < s_{2m-1} = s_{2m} - a_{2m} < s_{2m} < s_{2m+2} < \ldots$.
Da questo concludiamo che $s_d < s_p$, dunque non esiste $\lim_n s_n$ e, per definizione, la serie è oscillante.

(Questo ragionamento vale sempre quando la serie è definitivamente a termini di segno alterno, monotoni crescenti -e non tutti nulli- in valore assoluto.)

pater46
Sai Rigel, forse è perchè è troppo tempo che non faccio serie, però non riesco a convincermi di quello che dici..

Ad esempio

$ lim n!|q|^n = +oo forall n in NN\{0} $

Se avessi $ 0 < q < 1 $, tale limite tenderebbe a 0, o no? Per gli ordini di infinito..

Stesso discorso per $ sum_n^oo n!q^n $.
Se $q>=1$, non ci sono dubbi che diverge.
Ma per $ 0 < q < 1 $, per ordini di infinito sarei propenso a pensare che la serie converga. Tuttavia il criterio del rapporto mi smentisce:

$ lim_n (n+1)!q^(n+1)/(n!q^n) = lim_n (n+1)q = +oo forall q != 0$

Proviamo con la radice:

$ lim_n \root{n}{ n!q^n } = q \root{n}{n!} $.

Ora.. sarei sempre propenso a pensare che quest'ultimo limite faccia q, il che è discorde col risultato di prima. Mi sto perdendo?

Rigel1
Per avere un'idea di massima, pensa all'approssimazione di Stirling:
$n! \sim \sqrt{2\pi n} n^n e^{-n}$.
Di conseguenza, se $q>0$,
$n! q^n \sim \sqrt{2\pi n} (\frac{n q}{e})^n$.
Per quanto piccolo sia $q$, purché strettamente positivo, vedi subito che questa quantità diverge a $+\infty$.

dot1
ok, grazie mille per i chiarimenti e per l'aiuto.

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