Serie numerica
Ciao ragazzi!!
E' da un pò che non scrivo sul forum. Ne approfitto per discutere con voi questa serie, su cui penso di avere imboccato la strada giusta per determinarne il carattere, ma non ne sono al 100% sicuro.
Ecco la serie:
$\sum_{n=1}^\(+infty) ((n + 2^n)/(n^2 + 2^n))*arcsin(1/(n!))$
Illustro il mio ragionamento.
Divido il termine generale della serie in altri due termini, in modo da studiarli distintamente.
Il primo termine $arcsin(1/(n!))$ è un minorante della serie $1/(n!)$ che è convergente, inoltre l'argomento dell'arcoseno sarà: $ -1 <= 1/(n!) <= 1$, quindi questa serie sarà convergente. E' esatto fin qui il mio ragionamento?
Passiamo all'altro termine $((n + 2^n)/(n^2 + 2^n))$. Ho applicato il teorema del confronto, confrontandolo con la serie armonica $1/n$.
Avrò il limite:
$\lim_{n \to \infty} ((n + 2^n)/(n^2 + 2^n))/(1/n) $ ---> $\lim_{n \to \infty} ((1 +(2^n)/n)/(1 +(2^n)/n))$ --> 1
Quindi questo termine ha lo stesso carattere della serie armonica, cioè è divergente. Esatto?
I miei dubbi si concentrano sulla presenza di $2^n$ sia al numeratore, che al denominatore della serie, sapendo $2^n$ cresce molto più velocemente degli altri termini $n$ e $n^2$. Cosa sapete dirmi a proposito?
Così, il carattere della serie di partenza sarà divergente.
Grazie a chi risponderà. Ciao ciao!
E' da un pò che non scrivo sul forum. Ne approfitto per discutere con voi questa serie, su cui penso di avere imboccato la strada giusta per determinarne il carattere, ma non ne sono al 100% sicuro.
Ecco la serie:
$\sum_{n=1}^\(+infty) ((n + 2^n)/(n^2 + 2^n))*arcsin(1/(n!))$
Illustro il mio ragionamento.
Divido il termine generale della serie in altri due termini, in modo da studiarli distintamente.
Il primo termine $arcsin(1/(n!))$ è un minorante della serie $1/(n!)$ che è convergente, inoltre l'argomento dell'arcoseno sarà: $ -1 <= 1/(n!) <= 1$, quindi questa serie sarà convergente. E' esatto fin qui il mio ragionamento?
Passiamo all'altro termine $((n + 2^n)/(n^2 + 2^n))$. Ho applicato il teorema del confronto, confrontandolo con la serie armonica $1/n$.
Avrò il limite:
$\lim_{n \to \infty} ((n + 2^n)/(n^2 + 2^n))/(1/n) $ ---> $\lim_{n \to \infty} ((1 +(2^n)/n)/(1 +(2^n)/n))$ --> 1
Quindi questo termine ha lo stesso carattere della serie armonica, cioè è divergente. Esatto?
I miei dubbi si concentrano sulla presenza di $2^n$ sia al numeratore, che al denominatore della serie, sapendo $2^n$ cresce molto più velocemente degli altri termini $n$ e $n^2$. Cosa sapete dirmi a proposito?
Così, il carattere della serie di partenza sarà divergente.
Grazie a chi risponderà. Ciao ciao!
Risposte
[mod="Gugo82"]Ti prego di ridimensionare l'avatar (cfr. regolamento 2.3)[/mod]
Ad ogni modo, non capisco cosa tu voglia dire qui:
Secondo te è [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} a_nb_n=\Big( \sum_{n=1}^{+\infty}a_n\Big) \cdot \Big( \sum_{n=1}^{+\infty}b_n \Big)$[/tex]?
Beh, facciamo un esempio:
[tex]a_1=1,a_2=2,a_3=a_4=\ldots =a_n=\ldots=0[/tex]
[tex]b_1=2,b_2=1,b_3=b_4=\ldots =b_n=\ldots=0[/tex]
quindi [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n=3=\sum_{n=1}^{+\infty}b_n, \Big( \sum_{n=1}^{+\infty}a_n\Big) \cdot \Big( \sum_{n=1}^{+\infty}b_n \Big)=9\neq 4=\sum_{n=1}^{+\infty} a_nb_n$[/tex]... C'è qualcosa che non va, non credi?
Altro esempio:
[tex]a_n=b_n=\frac{1}{n}[/tex]
sicché [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} <+\infty = (+\infty)\cdot (+\infty)=\Big( \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\Big) \cdot \Big( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \Big)$[/tex]...
Sisi, c'è proprio qualcosa che non quadra.
Ad ogni modo, non capisco cosa tu voglia dire qui:
"Albertus16":
Divido la serie in altre due, cioè ottengo un prodotto di due serie in modo da studiarle distintamente.
Secondo te è [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} a_nb_n=\Big( \sum_{n=1}^{+\infty}a_n\Big) \cdot \Big( \sum_{n=1}^{+\infty}b_n \Big)$[/tex]?
Beh, facciamo un esempio:
[tex]a_1=1,a_2=2,a_3=a_4=\ldots =a_n=\ldots=0[/tex]
[tex]b_1=2,b_2=1,b_3=b_4=\ldots =b_n=\ldots=0[/tex]
quindi [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n=3=\sum_{n=1}^{+\infty}b_n, \Big( \sum_{n=1}^{+\infty}a_n\Big) \cdot \Big( \sum_{n=1}^{+\infty}b_n \Big)=9\neq 4=\sum_{n=1}^{+\infty} a_nb_n$[/tex]... C'è qualcosa che non va, non credi?
Altro esempio:
[tex]a_n=b_n=\frac{1}{n}[/tex]
sicché [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} <+\infty = (+\infty)\cdot (+\infty)=\Big( \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\Big) \cdot \Big( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \Big)$[/tex]...
Sisi, c'è proprio qualcosa che non quadra.
Per il problema dell'avatar ho già cercato di risolverlo, grazie. Ho notato però che l'immagine originale viene ridimensionata autoticamente, cercherò di trovarne una più piccola, grazie comunque.
Hai ragione, non posso definirla come una serie prodotto secondo Cauchy. Una mia imprecisione. Correggo il post, magari dicendo che divido il termine generale in altri due, in modo da studiarli meglio separatamente. Grazie per avermelo detto, Gugo82.
Hai ragione, non posso definirla come una serie prodotto secondo Cauchy. Una mia imprecisione. Correggo il post, magari dicendo che divido il termine generale in altri due, in modo da studiarli meglio separatamente. Grazie per avermelo detto, Gugo82.
"Albertus16":
cercherò di trovarne una più piccola, grazie comunque.
Finché non troverai l'immagine buona sei pregato di eliminare questa troppo grande.
Fatto. Credo che ora vada più che bene. Ho corretto pure il post.
A proposito della serie, cosa ne pensi del mio ragionamento? E' corretto o devo ragionare in modo diverso?
A proposito della serie, cosa ne pensi del mio ragionamento? E' corretto o devo ragionare in modo diverso?
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