Serie numerica
Ciao a tutti, sto facendo degli esercizi sulle serie ma non li ho ben capiti... qualcuno potrebbe aiutarmi in questo esercizio?
Al variare del parametro $x ∈ RR$ si studi la convergenza della seguente serie numerica:
$ sum_(n = \1) ^(+oo ) e^-n/n(x^2-1)^n $
non saprei come farla...
Al variare del parametro $x ∈ RR$ si studi la convergenza della seguente serie numerica:
$ sum_(n = \1) ^(+oo ) e^-n/n(x^2-1)^n $
non saprei come farla...
Risposte
Ciao! Nello stesso modo in cui studieresti le serie:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-n}}{n} 2^n$$
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-n}}{n}(\pi+\sqrt{2})^n$$
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-n}}{n}(-25)^n$$
Solo che qui hai un parametro $x$, al variare del quale devi fare considerazioni diverse nel momento in cui applichi la teoria sulle serie.
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-n}}{n} 2^n$$
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-n}}{n}(\pi+\sqrt{2})^n$$
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-n}}{n}(-25)^n$$
Solo che qui hai un parametro $x$, al variare del quale devi fare considerazioni diverse nel momento in cui applichi la teoria sulle serie.
si ma non saprei come semplificare la serie... ho provato ad applicare il criterio della radice ma sono giunta a un risultato peggiore...
Il criterio della radice va benissimo, non capisco come ti sia uscito fuori un risultato peggiore. Puoi scrivere i calcoli, per favore?
Ciao glitch000,
Comincerei con l'osservare che per $x = \pm 1 $ la serie proposta converge a $0$.
Poi la scriverei in un altro modo:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^-n/n (x^2-1)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (e^-1(x^2-1))^n/n = \sum_{n = 1}^{+\infty} ((x^2-1)/e)^n/n $
Posto $y := (x^2-1)/e $ si ottiene la ben nota serie seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} y^n/n = - ln(1 - y) $
per $- 1 \le y < 1 \iff - sqrt{1 + e} < x < sqrt{1 + e} $
Pertanto si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^-n/n (x^2-1)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} ((x^2-1)/e)^n/n = - ln(1 - (x^2-1)/e) = ln(e/(1 + e - x^2)) = 1 - ln(1 + e - x^2) $
per $ - sqrt{1 + e} < x < sqrt{1 + e} $
"glitch000":
non saprei come farla...
Comincerei con l'osservare che per $x = \pm 1 $ la serie proposta converge a $0$.
Poi la scriverei in un altro modo:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^-n/n (x^2-1)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (e^-1(x^2-1))^n/n = \sum_{n = 1}^{+\infty} ((x^2-1)/e)^n/n $
Posto $y := (x^2-1)/e $ si ottiene la ben nota serie seguente:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} y^n/n = - ln(1 - y) $
per $- 1 \le y < 1 \iff - sqrt{1 + e} < x < sqrt{1 + e} $
Pertanto si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^-n/n (x^2-1)^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} ((x^2-1)/e)^n/n = - ln(1 - (x^2-1)/e) = ln(e/(1 + e - x^2)) = 1 - ln(1 + e - x^2) $
per $ - sqrt{1 + e} < x < sqrt{1 + e} $
"Mephlip":
Il criterio della radice va benissimo, non capisco come ti sia uscito fuori un risultato peggiore. Puoi scrivere i calcoli, per favore?
ok ho rifatto i calcoli e mi è venuto:
$ (e^(-n)/n)^(1/n)((x^2-1)^n)^(1/n) $
poi ho semplificato
$ e^-1/n^(1/n)(x^2-1) $
il limite $-> + oo $ mi arriva $(x^2 -1)/e$
"pilloeffe":
$- ln(1 - (x^2-1)/e) = ln(e/(1 + e - x^2)) = 1 - ln(1 + e - x^2) $
scusa non ho capito questo passaggio
Lo svolgimento corretto puoi vederlo da pilloeffe, l'errore che hai fatto è che il criterio della radice vale per serie a termini non negativi; quindi, dato che $x^2-1$ può essere negativo al variare di $x \in \mathbb{R}$, devi considerare la serie dei moduli e studiare la convergenza assoluta (che implica quella semplice). Per cui devi calcolare questo limite:
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{e^{-n}}{n}|x^2-1|^n}$$
Ha fatto il minimo comune multiplo e ha applicato una delle proprietà dei logaritmi.
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{e^{-n}}{n}|x^2-1|^n}$$
"glitch000":
scusa non ho capito questo passaggio
Ha fatto il minimo comune multiplo e ha applicato una delle proprietà dei logaritmi.
ahh giusto! ora ho capito, grazie mille per avermelo spiegato 
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