Serie numerica

[ValeForce]

Salve a tutti!

Non dovrebbe essere molto difficile, ma non trovo il modo corretto per determinare il carattere della seguente serie:

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(log(n))^{log(n)}} $$

Né criterio del rapporto né criterio della radice funzionano...

[gugo82]

Provato il Criterio di Condensazione di Cauchy?

[ValeForce]

Ho provato ... però non riesco a gestire l'espressione che ottengo. Ma soprattutto non riesco a dimostrare che ${1/(log(n))^(log(n))}$ è monotona decrescente

[otta96]

$(logn)^(logn)=e^(lognloglogn)=n^(loglogn)$, da qui riesci a concludere?

[pilloeffe]

Ciao ValeForce,

Potresti osservare che se $ n > e^{e^2} $ si ha:

$ log(n) > e^2 \implies log(log(n)) > 2 \implies log(n) log(log(n)) > 2 log(n) \implies $
$ \implies log(log(n))^{log(n)} > log(n^2) \implies (log(n))^{log(n)} > n^2 \implies 1/(log(n))^{log(n)} < 1/n^2 $

Il discorso è generalizzabile, infatti fissato $\alpha > 1 $ se $ n > e^{e^{\alpha}} $ si ha:

$ log(n) > e^{\alpha} \implies log(log(n)) > \alpha \implies log(n) log(log(n)) > \alpha log(n) \implies $
$ \implies log(log(n))^{log(n)} > log(n^{\alpha}) \implies (log(n))^{log(n)} > n^{\alpha} \implies 1/(log(n))^{log(n)} < 1/n^{\alpha} $