Serie numerica

[VALE014]

salve a tutti , ho un dubbio su una serie, ovvero : $ sum_{n=0}^ootg(n/(n^3+1) ) $ so che la serie data può convergere o divergere perchè il limite per n che tende a infinito è 0.(Criterio necessario di convergenza), adesso applico il confronto semplice $ sum_{n=0}^ootg(n/(n^3+1) )~ sum_{n=0}^oo1/n^2 $ so che la seconda converge perchè è una serie armonica generalizzata per cui converge anche la mia serie iniziale.
Il mio dubbio è il seguente posso confrontarla direttamente con $1/n^2$? o devo fare altre considerazioni?? il mio libro da come consegna : dire le le serie date convergono o divergono ed il risultato è o si o no quindi non so se questi tipi di ragionamenti che faccio sono giusti o meno .
grazie in anticipo

[spugna2]

Con "direttamente" intendi senza usare le equivalenze asintotiche?

[VALE014]

si

[pilloeffe]

Ciao VALE0,

Innanzitutto farei partire la serie proposta da $n = 1 $, tanto il termine che si ottiene per $n = 0 $ è nullo.
Poi osserverei che si ha:

$\sum_{n=1}^{+\infty} tan(n/(n^3+1)) \le \sum_{n=1}^{+\infty} n/(n^3+1) \le \sum_{n=1}^{+\infty} n/(n^3) = \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^2 $

Dunque la serie proposta è convergente per confronto con la serie armonica generalizzata $ \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^{\alpha} $ con $\alpha = 2 $

[VALE014]

On quindi va bene il mio ragionamento?

[spugna2]

"pilloeffe":$\sum_{n=1}^{+\infty} tan(n/(n^3+1)) \le \sum_{n=1}^{+\infty} n/(n^3+1)$

Occhio che questo è falso, in realtà vale la disuguaglianza opposta! Anche se mettendo un fattore 2 al secondo membro si sistema (eventualmente dopo aver scartato alcuni termini).

VALE0, il tuo ragionamento è quello con l'equivalenza asintotica, giusto? Quello funziona, perché è un caso particolare del seguente criterio: se $sum_{n >=0} a_n$ e $sum_{n >=0} b_n$ sono due serie a termini positivi ed esistono due costanti positive $C_1$ e $C_2$ tali che $C_1<(a_n)/(b_n)

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[pilloeffe]

"spugna":Occhio che questo è falso, in realtà vale la disuguaglianza opposta! Anche se mettendo un fattore 2 al secondo membro si sistema

Ops, chiedo scusa... Sì, hai ragione, direi che con un fattore 2 si sistema:

$\sum_{n=1}^{+\infty} tan(n/(n^3+1)) \le 2 \sum_{n=1}^{+\infty} n/(n^3+1) \le 2 \sum_{n=1}^{+\infty} n/(n^3) = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^2 $