Serie numerica
Ciao ho fatto questa serie nel quale dovevo verificare il carattere. Vedo che la condizione necessaria di Cauchy è soddisfatto poi ho applicato il criterio del rapporto e ottengo che converge. Ora vi chiedo , potreste postarmi i passaggi del calcolo del limite col criterio del rapporto? Per verificare se ho fatto bene o meno . Grazie
Questa è la serie = (n+1)n!/(n)^(n+1)
Questa è la serie = (n+1)n!/(n)^(n+1)
Risposte
Ciao Mei,
Se ho ben capito la serie proposta è la seguente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{(n+1)n!}{n^{n+1}} $
Si vede subito che la serie proposta è a termini positivi e non molto dopo che, posto $a_n := frac{(n+1)n!}{n^{n+1}} $, risulta $ lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $: essendo soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, la serie proposta può convergere. Per vedere se effettivamente converge applichiamo il criterio del rapporto:
$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{frac{(n+2)(n + 1)!}{(n + 1)^{n+2}}}{frac{(n+1)n!}{n^{n+1}}} = lim_{n \to +\infty} frac{(n+2)(n + 1)!}{(n+1)n!} \cdot frac{n^{n+1}}{(n + 1)^{n+2}} = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{(n+2)(n + 1)n!}{(n+1)n!} \cdot frac{n^{n+1}}{(n + 1)(n + 1)^{n+1}} = lim_{n \to +\infty} frac{n+2}{n+1} \cdot (frac{n}{n + 1})^{n + 1} = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{n+2}{n+1} \cdot (1 + frac{-1}{n + 1})^{n + 1} = 1 \cdot e^{- 1} = 1/e < 1 $
Dunque la serie proposta è convergente.
Se ho ben capito la serie proposta è la seguente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{(n+1)n!}{n^{n+1}} $
$ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{(n+1)n!}{n^{n+1}} $Si vede subito che la serie proposta è a termini positivi e non molto dopo che, posto $a_n := frac{(n+1)n!}{n^{n+1}} $, risulta $ lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $: essendo soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, la serie proposta può convergere. Per vedere se effettivamente converge applichiamo il criterio del rapporto:
$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{frac{(n+2)(n + 1)!}{(n + 1)^{n+2}}}{frac{(n+1)n!}{n^{n+1}}} = lim_{n \to +\infty} frac{(n+2)(n + 1)!}{(n+1)n!} \cdot frac{n^{n+1}}{(n + 1)^{n+2}} = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{(n+2)(n + 1)n!}{(n+1)n!} \cdot frac{n^{n+1}}{(n + 1)(n + 1)^{n+1}} = lim_{n \to +\infty} frac{n+2}{n+1} \cdot (frac{n}{n + 1})^{n + 1} = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{n+2}{n+1} \cdot (1 + frac{-1}{n + 1})^{n + 1} = 1 \cdot e^{- 1} = 1/e < 1 $
Dunque la serie proposta è convergente.
Scusami ho sbagliato nel scrivere la serie al numeratore,
È: (n)! , non (n+1)n!
Potresti riscrivermela con questa modifica ? Scusami ancora
È: (n)! , non (n+1)n!
Potresti riscrivermela con questa modifica ? Scusami ancora
Rispondo sull'altro post, per evitare di avere doppioni... 
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