Serie numerica
Devo studiare il carattere della seguente serie
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ln(\frac {n^2+n}{n^2+2})\)
Noto che non è a termini positivi, dato che per n=1 ottengo un valore negativo. Ho pensato di studiare, quindi, la convergenza assoluta della serie, ma non sono arrivato ad un punto conclusivo. Penso che si possa svolgere con il confronto, ma non riesco a trovare una serie con cui confrontarla...consigli?
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ln(\frac {n^2+n}{n^2+2})\)
Noto che non è a termini positivi, dato che per n=1 ottengo un valore negativo. Ho pensato di studiare, quindi, la convergenza assoluta della serie, ma non sono arrivato ad un punto conclusivo. Penso che si possa svolgere con il confronto, ma non riesco a trovare una serie con cui confrontarla...consigli?
Risposte
Intanto, dato che:
$[(n^2+n)/(n^2+2)>1] rarr [(n-2)/(n^2+2)>0] rarr [n>2]$
la serie è definitivamente a termini positivi. Insomma, non si dovrebbe nemmeno scomodare il concetto di convergenza assoluta. Inoltre, procederei mediante il confronto asintotico:
$ln((n^2+n)/(n^2+2))=ln(1+(n-2)/(n^2+2))=ln[1+(n(1-2/n))/(n^2(1+2/n^2))]=$
$=ln[1+1/n(1-2/n)(1-2/n^2+o(1/n^2))]=ln[1+1/n+o(1/n)]=1/n+o(1/n)$
$[(n^2+n)/(n^2+2)>1] rarr [(n-2)/(n^2+2)>0] rarr [n>2]$
la serie è definitivamente a termini positivi. Insomma, non si dovrebbe nemmeno scomodare il concetto di convergenza assoluta. Inoltre, procederei mediante il confronto asintotico:
$ln((n^2+n)/(n^2+2))=ln(1+(n-2)/(n^2+2))=ln[1+(n(1-2/n))/(n^2(1+2/n^2))]=$
$=ln[1+1/n(1-2/n)(1-2/n^2+o(1/n^2))]=ln[1+1/n+o(1/n)]=1/n+o(1/n)$
Verificata la condizione necessaria di convergenza, possiamo cercare di ricondurci al limite notevole $ lim_(x -> 0) ln(1+x) /x = 1 $
Generalizzando, se $epsilon(x)$ è una funzione infinitesima, si può scrivere: $ln(1+ epsilon(x)) ~~ epsilon(x)$.
Quindi poniamo $ (n^2+n)/(n^2 +2)=1+epsilon(x) $ , pertanto $ epsilon(x)=(n-2)/(n^2+2) $ e sappiamo già che $ln((n^2+n)/(n^2+2)) ~~ (n-2)/(n^2+2)$
Pertanto tale serie ha lo stesso carattere della serie che ha come termine generale $ (n-2)/(n^2+2)$, che risulta chiaramente asintotica a $$ $ sum_(n=1)^(infty)1/n $ , che sappiamo divergere.
Generalizzando, se $epsilon(x)$ è una funzione infinitesima, si può scrivere: $ln(1+ epsilon(x)) ~~ epsilon(x)$.
Quindi poniamo $ (n^2+n)/(n^2 +2)=1+epsilon(x) $ , pertanto $ epsilon(x)=(n-2)/(n^2+2) $ e sappiamo già che $ln((n^2+n)/(n^2+2)) ~~ (n-2)/(n^2+2)$
Pertanto tale serie ha lo stesso carattere della serie che ha come termine generale $ (n-2)/(n^2+2)$, che risulta chiaramente asintotica a $$ $ sum_(n=1)^(infty)1/n $ , che sappiamo divergere.
"feddy":
Verificata la condizione necessaria di convergenza, possiamo cercare di ricondurci al limite notevole $ lim_(x -> 0) ln(1+x) /x = 1 $
Generalizzando, se $epsilon(x)$ è una funzione infinitesima, si può scrivere: $ln(1+ epsilon(x)) ~~ epsilon(x)$.
Quindi poniamo $ (n^2+n)/(n^2 +2)=1+epsilon(x) $ , pertanto $ epsilon(x)=(n-2)/(n^2+2) $ e sappiamo già che $ln((n^2+n)/(n^2+2)) ~~ (n-2)/(n^2+2)$
Pertanto tale serie ha lo stesso carattere della serie che ha come termine generale $ (n-2)/(n^2+2)$, che risulta chiaramente asintotica a $$ $ sum_(n=1)^(infty)1/n $ , che sappiamo divergere.
Grazie per la risposta, ma ho un dubbio. La mia funzione \(\displaystyle \varepsilon (x) \) è infinitesima? Lo provo facendo il \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \varepsilon (x) \) e verificando che effettivamente tenda a 0?
Non importa a cosa tende x, importa che essa sia infinitesima, per soddisfare il limite notevole 
Come dici tu, facendo il limite per $n->+infty$ vedi che essa è infinitesima.
$epsilon(x)$ è una funzione che tende a 0, ma non ha importanza a cosa tende $x$, ed è definitivamente diversa da 0 (cioè è un infinitesimo).
$epsilon(x)$ è una funzione che tende a 0, ma non ha importanza a cosa tende $x$, ed è definitivamente diversa da 0 (cioè è un infinitesimo).
"feddy":
Come dici tu, facendo il limite per $n->+infty$ vedi che essa è infinitesima.
$epsilon(x)$ è una funzione che tende a 0, ma non ha importanza a cosa tende $x$, ed è definitivamente diversa da 0 (cioè è un infinitesimo).
Perfetto, grazie mille! Senza il tuo consiglio non ci sarei arrivato
No problem
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