Serie numerica

[alfiere15]

Buongiorno!
Ho la seguente serie numerica: $sum_(n=1) (-1)^n * a_n$, dove la successione $a_n$ è definita nel modo seguente:
(1) sui pari: $a_n = 1/sqrt(n)$
(2) sui dispari: $a_n = 1/n^3$
Essendo, quindi, la serie somma di una serie divergente (nel caso (1), sui pari) e di una serie convergente (nel caso (2), sui dispari), si può affermare che la serie è divergente, per il teorema della somma ad incastro?

[fra_62]

E' verissimo affermare che $ sum_(n = \1)^(oo) 1/sqrtn $ diverga, ma sei altrettanto sicuro che anche $ sum_(n = \1)^(oo) (-1)^n (1/sqrtn) $ diverga ?

[alfiere15]

Ma sui pari, la serie non diventa comunque $sum_(n=1) 1/sqrt(n)$?

[fra_62]

Giusto, non ho letto bene il testo!

$ sum_(n = \1)^(oo) (-1)^n (1/sqrtn) $ se $n$ è pari diventa $ sum_(n = \1)^(oo) (1/sqrtn) $ , quindi l'esercizio lo hai concluso quando hai scritto il testo

Lascio a qualcuno più esperto eventuali altri suggerimenti

[zambozembo]

La cosa secondo me diventa molto esplicita se riscrivi la somma in questi termini:

$ sum_(i = \0)^\infty (-1)^(2i) 1/sqrt(2i) + sum_(j = \0)^\infty (-1)^(2j+1) 1/(2j+1)^3 = sum_(i = \0)^\infty 1/sqrt(2i) + sum_(j = \0)^\infty -1/(2j+1)^3 $

Da cui hai somma di due serie, di cui una converge e l'altra diverge.