Serie numerica
Ciao...devo determinare se la seguente serie converge o diverge e calcolarne la somma.
$\sum_{k=1}^(+infty) 1/(n(n+2))$
Ho determinato che la serie converge per confronto con $1/n^2$, essendo questa una serie armonica che converge semplicemente.
per calcolare la somma ho spezzato la frazione in fratti semplici:
$1/(n(n+2))=1/(2n)-1/(2(n+2))$
poi ho posto
n=1: $1/2-1/6$
n=2: $1/4-1/8$
n=3: $1/6-1/10$
n=4: $1/8-1/12$
ecc
Facendo ciò no notato che rimane soltanto $1/2+1/4=3/4$
Come posso fare il calcolo in un modo più sistematico?
$\sum_{k=1}^(+infty) 1/(n(n+2))$
Ho determinato che la serie converge per confronto con $1/n^2$, essendo questa una serie armonica che converge semplicemente.
per calcolare la somma ho spezzato la frazione in fratti semplici:
$1/(n(n+2))=1/(2n)-1/(2(n+2))$
poi ho posto
n=1: $1/2-1/6$
n=2: $1/4-1/8$
n=3: $1/6-1/10$
n=4: $1/8-1/12$
ecc
Facendo ciò no notato che rimane soltanto $1/2+1/4=3/4$
Come posso fare il calcolo in un modo più sistematico?
Risposte
Hai
$$s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)=\frac{1}{2}\left[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+2}\right]$$
Ora, nella seconda sommatoria, sostituisci $k+2$ con $k$: dal momento che per $k=1$ avevi come primo termine $1/3$ e per $k=n$ come ultimo termine $1/{n+2}$ puoi riscrivere
$$s_n=\frac{1}{2}\left[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k}\right]$$
Ora, spezza le sommatorie prendendo le parti comuni e quelle non comuni: si ha
$$s_n=\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{2}+\sum_{k=3}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right]=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$$
visto che le due sommatorie sono uguali ed opposte. Passando al limite
$$s=\lim_{n\to+\infty} s_n=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}$$
$$s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)=\frac{1}{2}\left[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+2}\right]$$
Ora, nella seconda sommatoria, sostituisci $k+2$ con $k$: dal momento che per $k=1$ avevi come primo termine $1/3$ e per $k=n$ come ultimo termine $1/{n+2}$ puoi riscrivere
$$s_n=\frac{1}{2}\left[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k}\right]$$
Ora, spezza le sommatorie prendendo le parti comuni e quelle non comuni: si ha
$$s_n=\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{2}+\sum_{k=3}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right]=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$$
visto che le due sommatorie sono uguali ed opposte. Passando al limite
$$s=\lim_{n\to+\infty} s_n=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}$$
[quote=ciampax]
Grazie mille!!! Molto chiaro
Grazie mille!!! Molto chiaro
soluzione alternativa
$foralln geq 2,s_n=1/2+1/4-1/(2(n+1))-1/(2(n+2))$
$foralln geq 2,s_n=1/2+1/4-1/(2(n+1))-1/(2(n+2))$
Sì, stormy, sarà alternativa... ma come c'arrivi? 
ci arrivo facilmente osservando $s_2,s_3,s_4$ (e ci si può fermare,ormai la cosa è chiara)
$s_2=1/2+1/4-1/6-1/8$
$s_3=1/2+1/4-1/8-1/10$
$s_4=1/2+1/4-1/10-1/12$
edit: la soluzione migliore è quella più semplice
$s_2=1/2+1/4-1/6-1/8$
$s_3=1/2+1/4-1/8-1/10$
$s_4=1/2+1/4-1/10-1/12$
edit: la soluzione migliore è quella più semplice
"stormy":
edit: la soluzione migliore è quella più semplice
vero ... ma la soluzione più chiara è la più utile
la mia è chiarissima proprio perchè è semplicissima
certo!
Sì, ok,stormy, ma a me sinceramente suona di "si vede" (con il dovuto rispetto).
Almeno dovresti far vedere (magari con induzione, non so) che $s_n$ ha quella forma. Sinceramente, se tu mi avessi presentato una soluzione simile in un esame non credo ti avrei messo il massimo voto all'esercizio, sai?
Almeno dovresti far vedere (magari con induzione, non so) che $s_n$ ha quella forma. Sinceramente, se tu mi avessi presentato una soluzione simile in un esame non credo ti avrei messo il massimo voto all'esercizio, sai?
io mi sarei dato 30 per la semplicità,la chiarezza e l'eleganza della soluzione(risposta dovuta ad un'affermazione provocatoria)
poi,qui siamo in un ambiante informale: è chiaro che è sottinteso il principio di induzione (ho scritto in quel modo per farti capire come si arriva rapidamente alla soluzione senza fare ragionamenti troppo cervellotici)
ma ,del resto,io non invento niente(purtroppo),la tecnica che ho usato è applicata,ad esempio ,da un testo che ho a disposizione
in conclusione,la mia soluzione è migliore della tua
fattene una ragione,la vita continua
discussione chiusa
poi,qui siamo in un ambiante informale: è chiaro che è sottinteso il principio di induzione (ho scritto in quel modo per farti capire come si arriva rapidamente alla soluzione senza fare ragionamenti troppo cervellotici)
ma ,del resto,io non invento niente(purtroppo),la tecnica che ho usato è applicata,ad esempio ,da un testo che ho a disposizione
in conclusione,la mia soluzione è migliore della tua
fattene una ragione,la vita continua
discussione chiusa
Guara che io mca stavo facendo la gara a chi ce l'ha più lungo. Dicevo solo che dovevi essere più formale. E comunque, se proprio vogliamo fare i pignoli, tu passi da eccessi di formalismo a cose fatte alla "cock of dog" e questo non è bene.
Qua mi pare che l'unico che si senta come la principessa sul pisello sia tu: uno fa una battuta e, o rispondi male e te la prendi (e io ti avevo posto delle scuse tempo fa a cui non ho avuto risposto) oppure fai il sapientino.
Dalle mie parti si dice "ammusc' i ragli'", per cui gradirei che, la prossima volta, prima di farti venire le fisime perché qualcuno ti ha corretto, gradirei che pensassi attentamente a quello che dici, visto che puoi non essere l'unico che, a lungo andare, si "scoccia per essere insultato gratuitamente".
E con questo la discussione, mio caro ragazzo, la chiudo io.
Qua mi pare che l'unico che si senta come la principessa sul pisello sia tu: uno fa una battuta e, o rispondi male e te la prendi (e io ti avevo posto delle scuse tempo fa a cui non ho avuto risposto) oppure fai il sapientino.
Dalle mie parti si dice "ammusc' i ragli'", per cui gradirei che, la prossima volta, prima di farti venire le fisime perché qualcuno ti ha corretto, gradirei che pensassi attentamente a quello che dici, visto che puoi non essere l'unico che, a lungo andare, si "scoccia per essere insultato gratuitamente".
E con questo la discussione, mio caro ragazzo, la chiudo io.
se tu sei davvero un professore universitario,siamo messi proprio male
ultimamente stai disseminando il forum con varie inesattezze,a volte anche con qualche amenità
ultimamente stai disseminando il forum con varie inesattezze,a volte anche con qualche amenità
Vabbé, stormy, è inutile dialogare con te. Sei infantile, puerile, presuntuoso.
Spero di non avere più a che fare con la tua persona visto che quando ti si dice una cosa, sai solo rispondere per offese.
Scendi dal piedistallo, perché sarai anche un genio della matematica ma se continui così, sembrerai solo il solito saccente privo di capacità di dialogo.
Sono troppo "vecchio" per stare a sentire i commenti stupidi di un ragazzino che si crede il padreterno e, le inesattezze di cui parli sono cose delle quali, ogni volta mi viene fatto notare, mi scuso e sono dettate da vari fattori. ma certo, per un "Dio" come te è più facile fare il saputello che dialogare, e va bene così: viviamo in un mondo di supereroi, per cui tu sarai uno di questi.
Ti auguro di avere una vita felice e di trovare gente che sopporti i tuoi modi da Imperatore senza regno.
EDIT: ah, una cosa. Ti ho aggiunto tra gli ignorati. Visto che d'ora in poi farò (volentieri) a meno di leggere i tuoi commenti, puoi anche risparmiarti lo sforzo di rispondermi (lo dico per te, non vorrei mai che ti stancassi troppo e non sfruttasi tutta la tua scienza per dimostrare all'Universo intero quanto tu sia capace di affrontare la somma scienza).
Spero di non avere più a che fare con la tua persona visto che quando ti si dice una cosa, sai solo rispondere per offese.
Scendi dal piedistallo, perché sarai anche un genio della matematica ma se continui così, sembrerai solo il solito saccente privo di capacità di dialogo.
Sono troppo "vecchio" per stare a sentire i commenti stupidi di un ragazzino che si crede il padreterno e, le inesattezze di cui parli sono cose delle quali, ogni volta mi viene fatto notare, mi scuso e sono dettate da vari fattori. ma certo, per un "Dio" come te è più facile fare il saputello che dialogare, e va bene così: viviamo in un mondo di supereroi, per cui tu sarai uno di questi.
Ti auguro di avere una vita felice e di trovare gente che sopporti i tuoi modi da Imperatore senza regno.
EDIT: ah, una cosa. Ti ho aggiunto tra gli ignorati. Visto che d'ora in poi farò (volentieri) a meno di leggere i tuoi commenti, puoi anche risparmiarti lo sforzo di rispondermi (lo dico per te, non vorrei mai che ti stancassi troppo e non sfruttasi tutta la tua scienza per dimostrare all'Universo intero quanto tu sia capace di affrontare la somma scienza).
guarda che io ammetto sempre i miei errori
se qualche volta reagisco bruscamente è per il modo in cui mi vengono segnalati:FALSO
ma poi cosa pretendevi,che dopo che mi hai provocato per tutto il topic io non reagissi ?
stai lì continuamente ad esprimere giudizi
ma chi cavolo ti credi di essere?
a occhio e croce sei un miracolato
un professore universitario che dice che la serie di termine generale $cosx^n$ è una serie di potenze
roba da matti
se qualche volta reagisco bruscamente è per il modo in cui mi vengono segnalati:FALSO
ma poi cosa pretendevi,che dopo che mi hai provocato per tutto il topic io non reagissi ?
stai lì continuamente ad esprimere giudizi
ma chi cavolo ti credi di essere?
a occhio e croce sei un miracolato
un professore universitario che dice che la serie di termine generale $cosx^n$ è una serie di potenze
roba da matti
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