Serie numerica
Come si stabilisce il carattere di questa serie??? Il libro fa dei passaggi strani...
$ sum^(+oo = \ldots) e^((n^2+2n)/(n^2+1))-e=e^((n^2+2n)/(n^2+1))-e=e(e^((n^2+2n)/(n^2+1))-1)~ e((n^2+2n)/(n^2+1)-1)=e((2n-1)/(n^2+1))~2e/n $
e poi applica il limite notevole facendo il confronto asintotico! e stabilisce che converge... ma come fa a fare l ultimo passaggio! Le due scritture non sono equivalenti! che ne pensate??
$ sum^(+oo = \ldots) e^((n^2+2n)/(n^2+1))-e=e^((n^2+2n)/(n^2+1))-e=e(e^((n^2+2n)/(n^2+1))-1)~ e((n^2+2n)/(n^2+1)-1)=e((2n-1)/(n^2+1))~2e/n $
e poi applica il limite notevole facendo il confronto asintotico! e stabilisce che converge... ma come fa a fare l ultimo passaggio! Le due scritture non sono equivalenti! che ne pensate??
Risposte
Se la serie e' questa $ sum_(n = \0)^(+oo)(e^((n^2+2n)/(n^2+1))-e) $
allora per dimostrare che non converge e' sufficiente che il termine generale per $ nrarr+oo $ non converga a zero:
$ (e^((n^2+2n)/(n^2+1))-e)=e^((1/n^2+2/n)/(1+1/n^2))-e rarr 1-e$ per $ nrarr+oo$
Questo e' una maniera per risolvere forse piu' semplice rispetto a quella da te indicata, nella quale c'e' probabilmente un errore di battitura nel passaggio in cui si raccoglie e a fattore comune o magari da qualche altra parte...
allora per dimostrare che non converge e' sufficiente che il termine generale per $ nrarr+oo $ non converga a zero:
$ (e^((n^2+2n)/(n^2+1))-e)=e^((1/n^2+2/n)/(1+1/n^2))-e rarr 1-e$ per $ nrarr+oo$
Questo e' una maniera per risolvere forse piu' semplice rispetto a quella da te indicata, nella quale c'e' probabilmente un errore di battitura nel passaggio in cui si raccoglie e a fattore comune o magari da qualche altra parte...
ma , $ lim_(n-> +infty)(n^2+2n)/(n^2+1)=1 $
E quindi? Non sto comprendendo molto! 
il termine generale della serie si può scrivere come
$e(e^((n^2+2n)/(n^2+1)-1)-1)=e(e^((2n+1)/(n^2+1))-1)$
ricordando il limite notevole $ lim_(x -> 0) (e^x-1)/x $ ,la roba che sta in parentesi è asintotica a $(2n+1)/(n^2+1)$ che a sua volta è asintotico a $2/n$
allora ,il termine generale è asintotico a $(2e)/n$ e quindi la serie diverge
$e(e^((n^2+2n)/(n^2+1)-1)-1)=e(e^((2n+1)/(n^2+1))-1)$
ricordando il limite notevole $ lim_(x -> 0) (e^x-1)/x $ ,la roba che sta in parentesi è asintotica a $(2n+1)/(n^2+1)$ che a sua volta è asintotico a $2/n$
allora ,il termine generale è asintotico a $(2e)/n$ e quindi la serie diverge
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