Serie numerica
Salve ragazzi è un pò che non posto sul forum, volevo chiedervi una dritta su una serie che mi lascia alquanto confuso:
$ sum_(n =1 ) ^(oo ) 1/(n log(1+1/n) $
ho fatto tutti i criteri e non vanno bene dato che la serie non è infinitesima il lim n->oo fa 1.
sicuramente bisogna trovare una serie divergente con cui minorarla, ma non ci sono riuscito.
qualcuno può darmi una mano?
grazie in anticipo!
$ sum_(n =1 ) ^(oo ) 1/(n log(1+1/n) $
ho fatto tutti i criteri e non vanno bene dato che la serie non è infinitesima il lim n->oo fa 1.
sicuramente bisogna trovare una serie divergente con cui minorarla, ma non ci sono riuscito.
qualcuno può darmi una mano?
grazie in anticipo!
Risposte
Dovresti ricordare che
$$\log(1+t)\sim t,\qquad t\to 0 $$
per cui...
$$\log(1+t)\sim t,\qquad t\to 0 $$
per cui...
stai dicendo di fare
$ lim_(t to 0) t/(log(1+t) $
con la sostituzione 1/n = t ? ma fa sempre 1 questo limite...
$ lim_(t to 0) t/(log(1+t) $
con la sostituzione 1/n = t ? ma fa sempre 1 questo limite...
No, sto dicendo di usare il teorema del confronto asintotico.
$$\log(1+1/n)\sim\frac{1}{n}\ \Rightarrow\ \frac{1}{n\log(1+1/n)}\sim\frac{1}{n\cdot 1/n}=1$$
Ora, come si comporta la serie $\sum_{n=1}^\infty 1$??
$$\log(1+1/n)\sim\frac{1}{n}\ \Rightarrow\ \frac{1}{n\log(1+1/n)}\sim\frac{1}{n\cdot 1/n}=1$$
Ora, come si comporta la serie $\sum_{n=1}^\infty 1$??
diverge! cavolo, che stupido...mi sono bloccato sul fatto che la serie non fosse infinitesima e non vedevo la soluzione!!! grazie!
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